致密油藏长缝压裂直井基质-裂缝耦合流动模型

任允鹏

中国石化胜利油田分公司勘探开发研究院

致密油藏具有渗透率低、渗流阻力大、存在启动压力梯度等特点，传统的开发方式难以实现高效开发［1-2］。水平井、长缝压裂技术的发展，促进了致密油藏的进一步开发。长缝压裂技术通过油、水井的大型压裂制造长缝，使裂缝在井排方向上延伸，进而形成一种类似于水平井开发的定向、定量造长缝的压裂完井技术。通过长缝压裂，可以形成较大面积的渗流通道，大幅提高致密油藏产能和开发效果［3-4］。

朱维耀等人［5］的研究结果表明致密油藏压裂裂缝中流体的流动存在高速非达西渗流。苏玉亮等人［6-7］的室内实验及现场研究表明，当裂缝内流体的渗流速度较大时，会呈现出高速非达西渗流，达西定律将无法准确地描述其渗流规律。Holditch(1976)等人［8］最早将裂缝中流体的高速非达西渗流的影响考虑到现场压裂设计中。Mcdaniel(1989)和Vincent(2000)等人［9-10］的研究结果表明，裂缝内的高速非达西渗流将严重的影响油藏最终的采收率及经济效益。Gil(2003)及Hernandez(2004)等人［11-12］在前人研究的基础上分析得出，高速非达西系数的阈值为0.1，即高速非达西渗流引起的压力降小于或等于总压降的10%，则高速非达西渗流的影响可以忽略不计且高速非达西系数随着采油速度和裂缝半长的增加而增加。目前国内外致密油藏长缝压裂渗流规律和产能模型研究中，没有综合考虑致密油藏的储层特征及裂缝中高速非达西渗流的特点，具有较大的局限性。因此，在致密油藏存在启动压力梯度的基础上考虑了裂缝中高速非达西渗流的影响，建立了长缝压裂直井基质-裂缝复合流动模型，并计算分析了压力动态和最佳裂缝半长变化规律。

1 基质-裂缝耦合流动模型

1.1 致密油藏基质-裂缝渗流规律

致密油藏液体的流动规律不符合常规的达西定律，在渗流时除粘滞力外，还要克服吸附层的阻力。当外加压力梯度大于启动压力梯度时，液体才开始流动。故可以应用运动方程描述致密油藏基质中流体的流动为

式中，v为流体流动速度，m/s;k为基质渗透率，10−3μm2；μ为原油黏度为压力梯度，MPa/m；G为启动压力梯度，MPa/m。

长缝压裂技术是致密油藏油井增加产量、提高经济效益的有效措施。致密油藏经过水力压裂后，裂缝渗透率大大提高。此时，流体首先从储层基质流向裂缝，再沿着裂缝流向井底。当裂缝的面积较小时，裂缝内的液体流速较大。对于高速流动的液体，其流动规律遵循的是Forchheimer二项式方程，如式(2)所示［13］。分析二项式可以看出，当渗流速度很小时，平方项可以忽略不计，下式就转化为达西渗流公式。由此可以看出式(2)中的第一项表示黏滞阻力引起的压力损失，第二项则表示由惯性力而引起的压力损失。当渗流速度较小时，第一项占优势；当渗流速度较大时，第二项占优势。

式中，ρ为流体密度，kg/m3；β为惯性因子，为平均流体流动速度，m/s。

1.2 物理模型及基本假设

致密油藏基质-裂缝耦合流动模型的基本假设：无限、均质地层中心1口垂直裂缝井；有限导流能力双翼对称裂缝，裂缝半长xf，缝宽wf，裂缝垂向完全穿透储层，裂缝渗透率kf为常数；流体首先从基质流到裂缝，进而从裂缝流到井筒，模型分为基质系统和裂缝系统，为了简化计算将裂缝均分n段；基质中流体流动考虑启动压力梯度，裂缝中流体流动考虑非达西渗流系数的影响。

1.2.1 无因次参数

式中，pD为无因次地层压力，下标D表示无因次属性；k为基质渗透率，10−3μm；h为地层厚度，m；pi为第i个网格的地层压力，MPa；p为地层压力，MPa;Q为井底流量，cm3/s；Bo为原油体积系数，m3/m3；pfD为无因次裂缝压力；pf为裂缝压力，MPa；F为无因次裂缝非达西渗流系数；wf为裂缝宽度，m；qfD为无因次裂缝流量；qf为裂缝流量，cm3/s；xf为裂缝半长，m；tD为无因次时间；t为真实时间，s；φ为地层孔隙度；ct为综合压缩系数，MPa−1；xD为无因次长度；cfD为无因次裂缝导流系数；cη为无因次裂缝扩散系数；GD为无因次启动压力梯度。

1.2.2 数学模型建立

(1)基质系统。由式(1)得考虑启动压力梯度的基质系统流体流动的无因次渗流方程为

(2)裂缝系统。由式(2)得考虑裂缝中非达西渗流系数的裂缝系统流动的无因次渗流方程为

式中，cf为裂缝导流系数；qnD为无因次节点流量。

进一步得到裂缝系统中任意一个网格i的无因次渗流方程为

1.2.3 模型求解

对上述基质及裂缝的渗流方程进行Laplace变换并应用点源函数求解［14］，可得拉式空间内基质系统、裂缝系统的解为

式(15)、(16)中，

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式中，Ko为零阶贝塞尔函数；u为拉普拉斯变量；下标i表示节点序号或者网格序号。

式中，

通过编程求解以上线性方程组，得出裂缝内的流量分布及每1节点的流量。代入裂缝的第1个网格方程求解得到拉普拉斯域的井底压力为

Van Everdingen等人［15］给出了拉式空间内定产条件下井底流动压力和定压条件下井底产量之间的关系为

对式(25)、(26)进行stehfest数值反演［16］，可以得到实时域空间的无因次井底压力及无因次井底产量。

1.3 模型验证

为验证解析模型的可靠性，利用COMSOL有限元模拟器，建立一个致密油藏长缝压裂数值模型，设定模型边界为10 000 m，通过偏微分方程系数进行非达西渗流系数定义，数值模型中其他致密油储层的相关参数与解析模型所用参数保持一致，具体参数见表1。数值模拟结果显示，当生产时间为6 000 d时，渗流所波及的半径远小于模型边界，这时可以认为模型是无限大的。结果对比如图1所示，研究建立的解析模型与数值模型拟合度较好。同时相对于

表1致密油藏储层参数Table 1 Reservoir parameters of tight oil reservoir

图1解析模型与数值模型Fig.1 Analytical model and numerical model

2 模型应用

2.1 启动压力梯度对压力动态影响

根据储层参数(表1)，计算定产条件不同无因次启动压力梯度下无因次井底压力及压力导数随无因次时间变化曲线如图2所示。无因次井底压力及压力导数随无因次启动压力梯度增大而增大，但启动压力梯度对生产动态的后期影响较大，这是因为生产后期，压降传播的范围增大，随启动压力梯度增加，地层中消耗的能量增大，因而生产压差较大。

图2不同启动压力下压力及压力导数曲线Fig.2 Pressure and pressure derivative at different threshold pressures

2.2 非达西渗流系数对压力动态影响

根据储层参数(表1)，计算定产条件不同无因次非达西渗流系数F下无因次井底压力及压力导数随无因次时间变化曲线如图3所示。由图可以看出，无因次井底压力及压力导数随着非达西渗流系数的增大而增大，且无因次非达西渗流系数对生产动态的前期影响较大。这是因为生产前期，裂缝中流体的渗流速度较大，由式(2)可知，Forchheimer渗流方程的第二项不可忽略，相当于增加了流体流动的渗流阻力，故此时非达西渗流对压力及压力导数的影响很大；而生产后期，生产压差扩大，裂缝中流体的渗流速度较小，Forchheimer渗流方程第二项可以忽略，因此非达西渗流对压力曲线的影响较小。

图3不同非达西渗流系数下压力及压力导数曲线Fig.3 Pressure and pressure derivative at different non-Darcy flow coefficient

2.3 非达西渗流系数对最佳裂缝半长影响

图4不同非达西渗流系数下累积产量随裂缝半长的变化曲线Fig.4 Variation of cumulative production with half fracture length at different non-Darcy flow coefficient

定压生产条件下，计算生产时间为10年时不同非达西渗流系数下累积产油量随裂缝半长的变化曲线如图4所示。由图可以看出，累积产油量随非达西渗流系数F的增大而减小；累积产油量随裂缝半长的增大而增大，但增大幅度越来越小，即存在最佳裂缝半长。由图4得出致密油藏长缝压裂的最佳裂缝半长随裂缝中非达西渗流系数的变化曲线如图5所示。由图可以看出，致密油藏水力压裂直井的最佳裂缝半长随裂缝中非达西渗流系数的增大而减小。这是因为高速非达西渗流在裂缝中产生的附加压降，增加了流体的渗流阻力，从而需要的裂缝半长越短。

图5最佳裂缝半长随非达西渗流系数的变化曲线Fig.5 Variation of optimal half fracture length with non-Darcy flow coefficient

3 结论

(1)考虑致密油藏中启动压力梯度及裂缝中非达西渗流的影响，建立了致密油藏基质-裂缝复合流动半解析模型，通过拉普拉斯变换，应用点源函数和Stehest数值反演计算了真实空间域内的井底压力及井底产量。

(2)通过分析启动压力梯度、非达西渗流系数对生产动态的影响发现，无因次压力及压力导数随着启动压力梯度、非达西渗流系数的增大而增大，且启动压力梯度对生产后期的压力曲线影响较大，而非达西渗流系数对生产前期的压力曲线影响较大。

(3)对不同非达西渗流系数下致密油藏长缝压裂的裂缝半长进行优化分析，结果表明裂缝中非达西渗流越严重，累积井底产量越低，最佳裂缝半长越短。研究成果为致密油藏长缝压裂方案设计、试井分析提供理论指导。