渗透“基本套路” 培养数学思维

赵万程

摘 要：“基本套路”是事物发生发展的基本规律，数学中的“基本套路”是研究数学问题发生发展的基本规律，即数学思维。要培养学数学思维，发展学生核心素养，首先要让学生体会、掌握这种基本思维，因此，新课程标准提倡教师以“研究一个数学对象的基本套路”为指导设计和开展教学活动。作为一线教师，我们应该研究“基本套路”、实施“基本套路”、反思“基本套路”、发展“基本套路”，踏踏实实地落实新课程标准，实现立德树人的目标。

关键词：基本套路;核心素养;意义;实施;思考

一、“基本套路”教学的意义

数学是一切自然科学的基础，不仅仅表现在数学知识的应用层面，更体现在数学思维的运用层面，正如美国数学家莱克因所说：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度”，柏拉图也曾说：“数学是一切知识的最高形式”。因此，我们要教会学生用数学的眼光观察世界，用数学的语言描述世界，用数学的思维思考世界，这正是新课程标准所希望达到的效果。

新课程标准注重发展学生的六项核心素养，体现数学教学的育人功能。要落实核心素养，核心是数学教学育人要回归数学的学科本质。所有的科学问题在本质上都是简单而有序的，用简单的概念阐明科学的基本问题，用相似的方法解决不同的问题，数学更是如此。数学的研究对象多种多样，但研究的内容、过程和方法是如出一辙的，正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”。因此，我们在教学生每一种数量关系、几何关系，都应该以“研究一个数学对象的基本套路”为指导进行教学设计和开展课堂教学，使学生感悟到数学思想和方法的普适性，学会用相似的方法、已知的方法解决陌生的、未知的问题，逐渐形成“数学的思维方式”，以达到培养学生核心素养的目的。

二、“基本套路”教学的实施

1.明套路，知章法

这里的“套路”并非狭义的指解题方法。比如分式函数的值域问题，我们可以通过设将函数转化成二次函数加以解决，也可以设，将函数转化为双勾函数加以解决，还可以去分母通过考察“二次方程根的分布”加以解决。其实这些方法均是将一个未知函数转换为已知函数加以解决，是同一种思想的不同处理。很多文章上都把这些不同的处理总结成不同的方法，才会出现“函数值域的十种方法”，甚至“函数值域的十六种方法”，并称之为“套路”，不同函数的值域用不同的套路。在笔者看来，函数值域就一种思想方法：化未知为已知。具体到用代数还是几何还是数形结合，均是“化已知”的不同思考角度，不同处理方式。笔者曾听过一位老师的课，课上在讲解如上函数值域问题时老师总结强调：“二次分式函数转化为分子分母一个为一次一个为二次的结构，然后对一次结构进行换元构造双勾函数，这是解决二次分式函数值域的基本套路，而且是最普适的套路。”可以想象，这样的讲解会固化学生的思维，不利于学生数学核心素养的形成，也许“应试”有用，但却为了一时影响了学生一生。我们不需要这样的“套路”。

这里的“套路”，是指事物发生发展的一般规律，比如饿了要吃饭，困了要睡觉。数学的发生发展也有着它的一般规律，比如基本初等函数都遵循着“背景——概念——图像与性质——应用”的基本规律。明白事物发展的一般规律，才能用相同的思维思考不同的对象，才能达到“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”的效果，才能让学生在以后碰到未知问题时知晓如何思考，如何去解决。

新课程标准提倡教师在教学过程中渗透“基本套路”意识，强调“相同的模块有相同的套路，不同的模块有不同的套路”，教师首先自己要强化“套路”意识，研究不同模块“套路”结构，优化“套路”实施方式，发展“套路”教育理念，并依“套路”进行设计教学、开展教学过程，才能潜移默化的影响学生，使学生体会数学思想和方法的普适性，学会用相似的方法解决不同的问题，形成数学的思维方式，核心素养就润物细无声的落实了。

2.教套路，练章法

教师应依据所教知识研究的“基本套路”进行教学设计，并在教学中通过各种教学活动让学生能够体会、理解 “套路”意识，并提供平台供学生演练“套路”研究，使学生逐渐形成数学的思考方式。

比如在“幂函数”的教学中，我们要依据研究基本初等函数的“套路”进行教学设计：

在研究幂函数的图像和性质过程中，先通过描点法画特殊五个特殊函数的图像，然后对性质进行总结归纳，再适当加以证明。整个教学过程体现了事物发生发展的基本规律。教材对幂函数的要求不高，只需要通过具体实例得出幂函数的概念，结合五个具体幂函数（其中有三个初中学过）的图像，归纳抽象出五个幂函数的性质即可。但如果把“幂函数”放到《函数的概念和性质》这一章中分析就会发现，“幂函数”这节内容所体现的不仅仅是幂函数本身，它是函数的概念和性质的具体表现，可以进一步加深学生对函数的概念和性质的理解，它也是是函数的概念和性质的应用，可以让学生体会概念和性质的作用;如果把“幂函数”放到“函数模块”中分析又会发现，通过对要求较低的幂函数的研究，可以让学生明确研究初等函数的“基本套路”，为后面研究相对较难的指对数函数和三角函数甚至数列指明研究策略。因此，“幂函数”这节内容的要求虽然不高，但其作用巨大，有承前启后之功效。因此，在后面学习指对数函数时，可提供平台让学生仿照幂函数的研究过程尝试自己去研究指对数函数。

笔者在和徒弟探讨基本初等函数的教学时，突发奇想和她一起进行了一个实验，在她所任教的两个班中选择一个班级按如下方案授课：

①讲完“幂函数”后，直接上“指数函数的概念”，然后让学生仿照幂函数的研究套路课后自行研究指數函数，总结指数函数的图像和性质，下节课展现研究成果;

②接着上“指数运算”，在指数运算最后一节课用10分钟讲解“对数”的概念，让学生仿照指数运算的研究套路课后自行研究对数运算，下节课展示研究成果;

③在对数运算后给学生一个实际背景，让学生课后仿照指数函数的研究套路自行对数函数进行研究，下节课展示研究成果。

即上课顺序为：

其目的就是想试试看“基本套路”教学是否会影响学生的思维方式，并鉴定其效果。故在其上教学内容上完以后，为两个班同时留了一道作业附加题：请研究二次函数和指数函数复合而成的新函数。从学生呈现出来的研究成果可以看出，按如上方式上课的班级学生总体对新的复合函数研究种类的多样性、性质的完整性好与另一个班级。可以看出，强调研究对象的“基本套路”确实有利于学生数学思维的培养，更有利于核心素养的落地。

当然，这只是试验，笔者不建议为了讲“套路”而随意改变教学内容的顺序，数学是一门整体性、系统性很强的学科，教材的内容编排顺序自有其合理性、科学性，随意改变不一定符合知识发生发展的自然过程和学生对知识发生发展过程的认知。教师只要在日常教学过程中尽可能多的渗透“基本套路”的意识即可。“基本套路”意识的形成也不是一蹴而就的，教师要多引导，多渗透，多给学生创造机会和平台练习，潜移默化中改变学生的思考方式，培养数学思维。

3.思套路，调章法

依据研究新的数学对象的“基本套路”进行教学，虽然很早就有人在研究，但真正引起所有一线教师关注的还是新的课程标准的实施，目前依然处于研究阶段。章建跃博士指出高中数学中“基本套路”的载体比比皆是，但他并没有详细说明“基本套路”的内涵是什么，已有的研究也大多数是直接套用章建跃博士的观点，“基本套路”的内涵并没有达成一致，“基本套路”的实施也都还在摸索，因此我们一线教师在教学过程中要实时的进行思考、反思、调整，形成自己的、适合学生的一套理论和办法。

一是要反思自己对“基本套路”的理解是否到位。新教材重构主题模块，整合同一模块的知识主题，更有利于学生对知识体系的认知，也更有利于“基本套路”的实施和落实，教师要对同一模块的不同知识对象的研究整合成同一“基本套路”，不能牵强，要自然而然，要能让学生感受到这就是事物发展的一般规律，才能引起学生的共鸣，更有利于学生数学思维的培养;

二是思考不同模块的不同套路之间的联系、共性。不同模块的不同套路之间不是割裂的、毫不相干的，无论是代数还是几何，新知识对象的研究无不遵循着“发现——研究——应用”的一般规律，“套路”的不同只是因为研究对象的种类不同而产生的差异，是同一棵树上不同的树枝。“基本套路”的建立应该注重为学生构建一个前后一致、逻辑连贯的学习过程。因此教师在进行教学设计和教学活动过程中要体现这种联系、共性，才能让学生真正理解“套路”，灵活运用“套路”，才能将“套路意识”融入学生的血脉之中。

三是要反思“基本套路”的实施方案是否适合学生。一方面，“基本套路”重视知识的逻辑过程和教师“教”的角度，比较容易忽略学生对知识的主动需求和探索过程中对数学问题解决的那种千回百转、生动活泼的心理活动，因此“基本套路”的研究还应充分考虑学生的心理需求;另一方面，不同学校的学生能力差异较大，同一学校不同层次的班级学生能力差异较大，同一班级的学生个体能力差异也较大，教师要依据任课班级的学生特点设计教学活动，适合学生的就是最好的。

三、 “基本套路”教学的思考

对象研究的“基本套路”并非是固化研究方式，“基本套路”是一种规律，我们要认识规律、研究规律、发展规律，进而形成数学思维、进化数学思维，才能大开脑洞，创造性的认识世界、发展世界。

1.“套路”一词来源于武术，武者学习武术要从基本套路开始，随着对武术理解的深入，逐渐能够将各种套路融会贯通，信手拈来，再进一步则不在拘泥于某种套路，甚至能根据自身和对手的特点创造招式，而武术的最高境界则是无招，随心所欲，无招胜有招。笔者想来，“数学思维”应该也是如此，康托尔说：“数学的本质在于它的自由”。我们今天教学生 “基本套路”的目的，是为了让学生学会用“数学思维”思考世界，并将其成为一种本能，最后达到“无招”的境界。故我们在教学过程中，一方面要将“基本套路”意识渗透的足够彻底，尽可能让学生掌握的足够扎实;另一方面也要渗透“基本套路”的灵活性、可塑性，总结分析不同模块“套路”的共性和个性，逐渐发展为更高一级的“套路”，为学生数学思维的形成和升级奠定基础。

2.在落实“基本套路”的过程中，非常容易使学生认为一切数学问题都能通过某一个套路进行解决，使得学生在解题时过于关注“通用通法”，失去对“一题多解”研究的动力和兴趣，导致学生思维固化，不够发散，最终的结果是丧失创造力。事实上，很多数学家也在寻求能够解决某一类的所有数学问题的“套路”，比如希尔伯特提出了公理系统中的判定问题，有这样一个设想：有了一个公理系统，就可以在这个系统基础上提出各式各样的命题，那么，有没有一种机械的方法或者算法，对每一个命题加以检验，判断它是否成立？然而数理逻辑的专家——哥德尔的不完全定理的面世，打碎了希尔伯特的梦想，哥德尔的成果指明：即使是在数论领域，对所有命题进行判定的机械化方法都是不存在的。渗透对象的研究“基本套路”是为了让学生感受事物发生发展的一般规律，并非禁锢学生的思维，与发散性思维的培养并不冲突，无论思维如何发散，如何的天马行空，都逃不开“规律”二字，发散的思维就像一个个自由飞翔的风筝，而“规律”就是风筝线，要想风筝飞得高、飞的远、飞的自由自在，首先要拉好风筝线，然后给风筝自由。我们需要“基本套路”，也需要发散思维，在“基本套路”的指引下发散自己的思维，因此，我们在教学过程中要注意这两方面的一致性。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2]代钦，王光明，吴立宝等.新版课程标准解析与教学指导[M].北京师范大学出版社.2019.

[3]邵光华，张妍.人教A版高中数学新教材特色分析及使用建议[J].课程·教材·教法，2019，39（12）：109-114.

[4]章建躍.注重“基本套路”才是好数学教学[J].中小学数学（高中版），2012（3）：50

[5]时杰.关于数学教学“基本套路”的文献综述[J].中学数学教学参考，2020，9：71-74.

[6]许惠珍.关注基本“套路”构建系统数学认知[J].中学数学（高中），2018（5）：52-53