辛约化下旋转臂上摆系统相对平衡点的计算

张振兴

摘 要：研究了旋转臂上摆系统的辛约化问题，给出了辛约化下的相对平衡点及对应的约化系统的平衡点。

关键词：旋转臂上摆系统;辛约化;相对平衡点

一、背景介绍

旋转臂上摆系统最初由[1]提出，它是一个带有对称的非线性的系统，并且其平衡点是非线性不稳定的。关于这个问题的研究基本上是利用基于Lagrange力学的方法来研究其平衡点稳定性问题和稳定化问题，如[2]。由于Lagrange力学本身的特性，这些研究不能充分利用系统的对称性。因此我们从Hamilton力学的角度出发，利用[3]中给出的辛约化理论，利用对称性研究其约化问题。

本文利用正则辛点约化定理给出了旋转臂上摆系统的约化系统并证明了该约化系统具有两个或者四个（根据约化时所选取动量映射的正则值的不同而不同）平衡点。

二、旋转臂上摆系统的模型

旋转臂上摆系统由一个平面摆及一个绕一竖直支撑杆旋转的旋转臂组成，摆的悬点在旋转臂的顶端，悬点处有一质量M。摆所在的平面与长为R的旋转臂正交。假设整个系统只受到重力的作用，忽略摩擦力的作用（参见[1][2]）。

系统的位形空间为，我们用作为其上的局部坐标，其中第一个因子θ表示摆与垂直向上方向的夹角，而第二个因子φ表示旋转臂与某个固定垂直平面的夹角，如图所示。此外，我们用作为动量相空间的局部坐标。系统的Hamilton函数 为

其中，

1.旋转臂上摆系统相对平衡点的稳定化

旋转臂上摆系统具有一个对称性，也即关于竖直支撑杆的旋转。我们希望能约化掉这个对称性从而得到旋转臂上摆系统的约化系统。

转臂上摆系统的相空间上具有典则的辛形式。李群通过映射作用于Q上。我们有S1-作用是自由且恰当的。这一映射的余切提升为 。此作用也是自由恰当的并且容许一个-等变的动量映射，其中是的李代数，是g的对偶。对任意的，由是交换群，。由正则辛点约化定理，我们有约化辛空间为，其中，其上的局部坐标可用给出，约化辛形式为。

另一方面，我们有旋转臂上摆系统的Hamillton函数是上述S1-作用不变的。于是我们可以定义相关的约化Hamilton函数为，也即

下面我们来计算约化旋转臂上摆系统的平衡点。计算可知约化系统的平衡点是如下方程组的解：

（1）

由上述第一个方程我们得到，代入第二个方

程，有.于是有θ=0，π或θi，i=1，2，其

中θi，i=1，2是方程

（2）

的根.注意到如果，则方程无解;若，方程有唯一解0;如果，则方程有两个不同的解，记之为θ1和θ2。

（1）约化旋转臂上摆系统的总有两个平衡点为

.

（2）当时，约化系统有另外两个平衡点和 ，其中θ1和θ2是方程（2）的解，

（3）相应的，旋转臂上摆系统的相对平衡点分别为

，

以及当时存在的相对平衡点和，其中，是[0，2π]内任意常数.

參考文献：

[1] K.J.?str?m and K.Furuta，Swinging up a pendulum by energy control，IFAC 13（San Francisco），1996.

[2] A.M.Bloch，N.E.Leonard，and J.E.Marsden，Stabilization of the pendulum on a rotor arm by the method of controlled Lagrangians，Proc.IEEE Int.Conf.Robotics and Automation，Detroit，MI，1999，pp.500-505.

[3] R.Abraham and J.E.Marsden，Foundations of mechanics，second ed.，AddisonWesley，Reading，MA，1978.