运用GeoGebra 着力提升高等数学的教学质量

周 洪

（四川幼儿师范高等专科学校 科技处，四川 江油 621700）

一、高等数学需要易学易用、快捷高效的学科教学软件

数学学科逻辑性强、知识高度抽象，需要借助可视化的方法和技术手段来展现数学的内容，贴近学生的现实生活，为数学知识的理解和数学概念的构建提供支撑。数形结合是数学教学的基本思想，运用可视化的教学手段，可建立起“数”与“形”的有机联系，降低了数学内容的理解难度，能有效的揭露数学本质，帮助学生掌握数学概念和数学结论。在传统的数学教学中，圆规、直尺、三角板，实物模型，挂图等是传统的数学教具，老师借助教具绘制示意图，借助实物模型比划、指点，这些方法和教学手段，简单有效，很多数学老师至今仍在使用。不过，在教育信息化普及推广的今天，原始的教学方法和教学手段所遗存的缺陷就显现出来，如用粉笔黑板绘制的图形粗糙、不准确，精致的教学挂图很少，实物模型数量不足及动态演示效果差等等，都说明高等数学课堂需要用现代教育技术手段来进行必要的改造和提升。

（一）普适性的教学软件辅助高数教学效果有限

用Office 办公软件制作的Word 课件、PPT 课件，或用Authorware 软件、Flash 软件制作的 CAI课件等都有数形结合的可视化功能，也可以用来辅助数学教学，不过从本质上讲，这些课件是教师将教案、教学设计、示意图等内容用投影、动画的方式展现给学生，它无法及时更新内容，也无法与学生交流互动，教学演示效果很有限[1]。

（二）几何画板辅助高等数学教学有很多局限和不足

几何画板、超级几何画板的出现，让数学教师有了专门的学科教学软件。借助几何画板、超级几何画板，数学教师可以绘制平面图形和立体图形，数形结合的效果有了较大的提升，但是这两款软件也存在一些不足，比如“数”与“形”不能同步显现，软件的高级功能还要收费，资源不够丰富等。对高等数学而言，几何画板的应用范围有限（主要应用于平几、立体几何），对辅助代数、微积分、级数、空间曲线、曲面、概率统计等教学内容无能为力。

（三）Mathematica 等专业软件对教师的要求太高，且耗时多、效率低

运用Mathematica、Matlab、AutoCAD 等数学软件、绘图软件的功能强大，应用范围广，用它们绘制出的图形很逼真，展示效果也不错，但用它们来制作教学课件，对老师的要求却很高，需要熟练掌握相应的计算机程序语言和一些英文命令[2-5]。此外，使用这些软件制作课件，步骤较为复杂，要耗费大量的时间和精力去设计、编写计算机操作程序，数学教师必须在课前制作课件，调试好课件，才能保证在教学过程中正常使用课件。不少数学老师觉得，用这样的软件去制作课件，耗时多、效率低，还不如用粉笔画示意图那样简单易行。所以，高等数学课堂期盼那种易学易用、快捷高效的学科教学软件。

二、GeoGebra 6.0 软件的课堂教学的适应性

（一）GeoGebra 可视化效果明显，使用范围覆盖了高等数学的教学内容

GeoGebra 是奥地利数学家Markus Hohenwarter 于2002 年设计开发的一款动态几何软件，它将几何、代数、微积分、统计、表格集于一体，其功能强大、操作简单。运用GeoGebra，你可以画点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线、二次曲面，以及函数图象等，事后你还可以改变它们的属性，也可以在GeoGebra 中直接输入方程和点坐标，马上就能得到相应的图形和位置，数形结合的同步性尤为突出。

GeoGebra 还有处理变数的能力(这些变数可以是一个数字、角度、向量或点坐标)，它也可以对函数作微分、积分运算，能找出方程的根或计算函数的极大值、极小值等等。

GeoGebra 功能强大，绘制的动态图形生动、精美、逼真，可视化效果显著，其应用范围覆盖了高等数学的主要教学内容，这些都彰显出它在高等数学课堂上大有可为的潜力。

（二）GeoGebra 6.0 版本的便利性，使之很容易融入课堂教学

GeoGebra 是一款免费的数学教学软件，它易学易用，便于学习和推广。在便利性方面，最新版本的GeoGebra 6.0 考虑中国用户的需求，界面和功能菜单全部用中文标示，软件中常用的指令都已经汉化，并集成到虚拟键盘中，用户可在使用中随时调用，操作十分简便。

在软件学习方面，GeoGebra 6.0 软件自备学习资料，新手容易入门。数学教师或学生通过短时间的培训，都可以掌握GeoGebra 6.0 软件的基本功能和基本操作，学会利用这些基本功能制作数学教学课件。一般情况下，数学老师不需要进行数值计算，也不需要记忆英文指令，只需要点击鼠标，像操作简单的计算器一样快捷方便的制作教学课件。在GeoGebra 6.0 的支撑下，数学教师可将学科教学的理念生动的展现出来，以帮助学生理解数学概念，构建学科知识，培养数学能力。

（三）GeoGebra 6.0 版本的兼容性，使师生之间的交流互动更为顺畅

GeoGebra 各种版本之间可以互相兼容，并且GeoGebra 可以安装在台式电脑、笔记本电脑上，也可以安装在平板电脑iPad 和智能手机上，而且用手机可以打开和操作由电脑制作的小型课件，用电脑也可以打开和操作用手机制作的课件。

三、GeoGebra 6.0 在高等数学教学中的作用

（一）让数学教师实现无课件的信息化教学

GeoGebra 6.0 以点、线、面、向量、函数为基本元素，具有可视化、多重表征、数形结合的特点，输入方程即可得到对应的图形，绘出点、线的同时自动显示对应的坐标或方程。GeoGebra 6.0针对不同的数学物件，提供不同的视区，如代数区、绘图区、运算区、3D 绘图区、试算区和概率计算等，在不同视区提供各自适用的工具列，其中包含了特定工具、指令、内建函数和运算子，让使用者可以运用不同表征的数学物件来创建动态结构。

一般情况下，教师使用GeoGebra 6.0，只需3-5 个步骤就可以马上绘制动态图象、空间形体或图表，及时有效的辅助教学，不需要课前花大量的时间精力去制作和准备课件。此外，与GeoGebra 6.0 无缝链接的GeoGebra 官网拥有大量免费的、不断更新的教学资料，教师上网注册后，可在课堂上随时调用GeoGebra 官网上的资料，极大丰富了教师教学资源。

应用GeoGebra 6.0，老师可以在课堂上快速地制作演示图以阐释数学概念，也可以现场绘制动态图形以引导学生思考问题，还可以通过改变问题的条件去探索新的结论，或者利用GeoGebra 6.0 设计一些数学实验（或及时调用GeoGebra 官网上的数学实验资源），让学生去感受和体验“做数学”的苦与乐，保持课堂教学的连续性和流畅性。

例1，在课堂上现场制作、演示基本极限Ι 的生成过程。

第1 步，设置滑动条x；

第3 步，操作滑动条，让x →0，观察极限生成过程。

例2.演示定积分教学中“上和不增，下和不减”的动态变化过程。

第1 步，设置滑动条n。

第2 步，在代数栏中输入函数表达式 f( )

x =x2- 2x+ 2，按Enter 键。

第3 步，在代数栏中输入指令：

上和（x2- 2x+ 2,0,4,n），按Enter 键；再输入指令：下和（x2- 2x+ 2,0,4,n），按Enter 键。

第4 步，操作滑动条，让n 变化，观察上和、下和的动态变化情况即可（图1）。

图1

因此，应用GeoGebra 6.0 绘制动态的教学辅助图形（图表），演示数学对象及其变化过程，体现了“现做现用，快捷高效”的特点，让数学教师真正实现无课件的信息化教学。

正如北师大曹一鸣教授所说，GeoGebra 是一款具有功能全、跨平台、易操作特点的动态数学软件，是数学教学的新帮手[6]。

（二）让学生获得和掌握强有力的数学学习工具

GeoGebra6.0 的手机APP 有两种版本，一种是“图形计算器”，另一种是“3D 绘图计算器”，它们的功能、界面和GeoGebra6.0 类似，都是中文版的，操作方法完全相同。这就提供了一种可能，即学生完全可以按照老师现场制作演示图的方法，在手机上自己制作相应的图形，体验数学知识的生成过程，这既是学知识也是学方法。因此，数学课堂不再排斥手机，学生也不再是课堂上的观众，而是课堂教学活动的全程参与者。

例3，在空间解析几何中，学生对老师用电脑演示“马鞍面”感兴趣，老师就让学生在手机上自己试着做一做。学生在“3D 绘图计算器”软件中直接输入x2-y2=z，按Enter 键，一个生动、直观的马鞍面就立刻出现在手机屏幕上。学生可以用手指去旋转、平移、放大、缩小这个曲面，从不同的方位去观察它。

接着，教师让学生在曲面中插入几个平面：x =l，y =m，z =n（其中l，m，n由滑动条控制），观察这些平面与马鞍面相交时交线的形状，理解马鞍面为什么又叫“双曲抛物面”的名称由来。这种新奇的体验让学生若有所思，兴趣盎然。美国教育心理学家戴维·帕金斯在《为未来而教，为未来而学》一书中指出，学习即理解，理解即思考；学习即运用，把你的理解和思考用起来；学习即感兴趣，全局性理解源于发自内心的渴望[7]。

事实上，智能手机+GeoGebra 软件，让学生获得了一种强有力的数学学习工具，促进了学生的学习和思考，激发了学生应用数学的兴趣。具体的作用有三：其一，学生可以借助自己绘制的直观模型，用经验去验证数学结论，用动态直观的数学实验去解释疑惑，加深对数学知识的认识和理解；其二，围绕课堂教学内容，积极参与数学问题的讨论，用自己观察到的情形为例子，去解释、说明数学原理或数学性质；其三，学生可以随时在GeoGebra 官网上登陆，免费获得国内外大量的数学学习资源，拓宽眼界。所以，在数学学习内容和方法上，学生不必被老师牵着走，可以解放思想，自主学习、自主解决感兴趣的数学问题，培养发现问题、提出问题和解决问题的数学实践能力。

对于学生而言，应用手机版的GeoGebra 软件，绘制动态示意图，探索和解释数学问题，可在思考、验证与实验中提升数学学习的品质，实现“学以致用，培养能力”的教学目标。

（三）让数学课堂构建起“互联网+”特点的教学信息平台

张景中院士指出，教育技术对学科教学和学习的支持，有效的方法就是向师生提供易学易用、功能全面的学科教学平台[8]。利用微信群、QQ群，我们可以建立一个服务课堂教学的信息平台（图2）。在这个信息平台中，教师和学生既是信息的输入端，也是信息的接受端，其中传递交流的信息流就是GeoGebra 所承载的生动、直观、动态展示的数学教学内容。这个平台根植于普通的课堂，能实现课堂教学信息双向、及时、无障碍的互联互通，它不需要耗费其他的教育资源，也不需要专门的电教技术，所使用的只是教师的电脑、学生的手机，以及QQ（微信）群的交互功能、GeoGebra 软件、与GeoGebra 软件无缝连接的GeoGebra 官网资源。它是“互联网+”时代，用极简的方式构建起来的实用型教学信息平台。

图2 教学信息平台

平台的作用之一，共同研讨数学问题。“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体。它由形状完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，四个曲面扣合(牟合)在一起形成了一个方形伞(方盖)。快捷、准确地画出牟合方盖的空间图形，可以帮助学生观察它的形状，探索它的几何特性。

例4，绘制牟合方盖及其轮廓线。

1）画出两个圆柱面：x2+ y2=1，x2+ z2=1。

打开GeoGebra 6.0，激活3D 绘图区。在代数区的输入栏中，输入“x2+ y2=1”后按Enter 键，得到一个圆柱面，再输入“x2+ z2=1”，按Enter键，得到另一个圆柱面，二者相交所围成的部分就是“牟合方盖”（图3）。与此同时，老师可让学生用手机上的“3D 绘图计算器”，按照屏幕显示的步骤、指令，一起绘制图形。

图3

2）为了清楚地观察牟合方盖，绘制它的轮廓线。

输入指令“曲线（cost, sint, sint, t, 0, 2π）”，按Enter 键；再输入指令“曲线（cost, sint, -sint, t, 0,2π）”后按Enter 键，即可得牟合方盖的轮廓线（图3）。

3）绘制由两个圆柱面x2+ y2=1，x2+ z2=1相交构成的牟合方盖。

两个圆柱面x2+ y2=1，x2+ z2=1 的参数方程，可设为：cosα，sinα，sinα·tanβ；cosα，sinα·tanβ，sinα。根据这两个参数方程来绘制牟合方盖。

在输入栏中，输入指令“曲面（cosα，sinα，sinα·tanβ，α，0，2π，β，-）”，按Enter 键，得到左右两个曲面；再输入指令“曲面（cosα，sinα·tanβ，sinα，α，0，2π，β，-）”，按Enter 键，得到上下两个曲面。由此，得到牟合方盖曲面（图4）。

图4

在上面的绘图过程中，老师只用了3 个步骤，输入了6 条指令，就快速呈现出牟合方盖的生成过程，令学生称奇。老师将绘图文件发送到QQ群，借此直观图形，与全班同学一起讨论问题。学生通过调整观察视角和图形的大小，不断丰富对牟合方盖的感性认识。接着，师生们饶有兴趣的对牟合方盖的几何特征进行了探索。

平台的作用之二：探索与验证数学结论。利用这个教学信息平台，学生在课堂上有什么问题，需要验证什么数学结论，有什么新的发现或新的见解，都可以通过QQ 群发送给老师，老师就可以及时了解学生的学习情况，也可以发动全班同学共同讨论相应的数学问题。

图5 sinx 的泰勒展式

随后，老师把这个图象的ggb 文件发送到QQ群，学生用手机上的“图形计算器”打开该文件，操作图中的滑动条，就可以观察当n 增大时sinx 与该级数贴合的详细过程。通过直观和经验的验证，同学们对泰勒展式的真实性深信不疑。

在这个教学信息平台上，GeoGebra 软件同时作为教学工具和学习工具，这就使得课堂中师生间的“共同语言”多了，教与学的交流、沟通也就顺畅了。借这个教学信息平台师生可以加强交流互动，围绕教学主题或彼此感兴趣的数学问题，进行广泛深入的研究性学习，共同提升课堂教学的效率和品质。其中，GeoGebra 带给我们的，不仅是方便快捷的数学内容展示，更是理想的深度学习平台和深度教学工具[9]。它为我们提供了“多元联系表征”的、开放的教学环境，促进了学生对数学本质的理解。

四、结语

借助深入数学学科的软件GeoGebra 6.0，教师在课堂上，可以现做现用，快捷方便的制作教学辅助图形（图表），及时呈现数学对象的可视化形象，直观、动态地表现出数学性质的生成、演变过程，促进学生深入思考，激发学生的数学学习兴趣，真正实现无课件的信息化教学，提升课堂教学质量。借助“手机+GeoGebra 6.0”，学生可以做数学图象或数学模型去验证数学结论，也可以做数学实验，探索生活中感兴趣的数学问题，积累“做数学”的体会和经验，培养发现问题和提出问题的能力，提升自己的数学素养。借助课堂教学信息平台，数学课堂的视域更为广阔，老师的教学资源丰富了，学生的学习方式改变了，课堂成为了师生们交流、探讨数学问题的场所，研究、解决数学问题的工作室。总之，合理、高效地应用GeoGebra 6.0，改变了传统数学课堂教学的面貌，为数学教学、数学学习增添了新的活力。