均匀带电半球体轴线上电势计算的微元选取探讨

吴显云，张 容

(成都师范学院 物理与工程技术学院，成都 611130)

电势是描述静电场性质的重要的物理量之一，它从能的侧面反映了电场的性质[1].静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能.当带电体电荷分布已知时，一般可用微元法和定义法两种方法计算电势[2].在静电场的教学中经常会讨论均匀带电球面、均匀带电球体等电荷分布具有高度对称性的带电体的电势分布，一般先利用高斯定理求出电场，然后利用定义(定义法)求解.对于这些均匀带电体的一部分，如均匀带电半球面、均匀带电半球体，因电荷分布不具有高度对称性不能利用高斯定理求出其电场分布，电场强度计算较为困难，不宜利用定义法计算其电势，可采用微元法计算其电势[3].在教学中发现微元法计算电势，如何选取微元通常是学生最为薄弱的环节，这恰恰又是解决问题最为关键的环节，如果微元选取不恰当，必定会增加计算的难度，甚至出错[4,5].

本文以电荷元(微元)的选取为主线，给出均匀带半球体轴线上电势的几种不同计算方法.设均匀带电半球体的半径为R，电荷体密度为ρ(参考点选在无限远处).

1 直接选取基本体积元为电荷元

将半球体分割成许多体积元，直接选取体积元为电荷元.

如图1 所示建立球坐标系，以半球体球心为坐标原点,半球体轴线为oz轴，体积元的体积为dτ=r2sinφdφdθdr，所带电荷量为dq=ρdτ=ρr2sinφdφdθdr，它到轴线上任一点P的距离为r1=

图1 体积元为电荷元示意图

体积元在P点处产生的电势为：

均匀带电半球体在P 点处产生的电势为：

当z≠0 时，被积函数分子、分母同乘以2z得：

此结果的条件是z≠0，对于球心处(z=0)的电势计算后面再给出.

均匀带电半球体内、外轴线上各个区间内的电势具有不同的表达式，其中z=0和z=-R分别为半球体的圆面和球面与oz轴的交界点，故作如下分段讨论.

当z>0 时，

当z< -R时，

当-R≤z<0 时，

当z=0时，将z=0代入式(1)积分可得球心处产生的电势为：

上述式(3)、(4)、(5)和(6)即为均匀带电半球体轴线上各个区域的电势的表达式.

图2 为均匀带电半球体轴线上的电势V随轴线坐标z变化的曲线.利用Matlab 数值模拟计算时，所用参数电荷体密度ρ为0.01C m3,半径R为0.01m.

图2 半球体轴线上V 随z 变化的曲线

由图2 可以看出，当z< -R时，电势随着z的增大而增大，当-R≤z<0 时，电势随着z的增大先由小变大直到最大3.3978×104V(此处z≈-4.2×10-3m)，然后由大变小，当z>0 时，电势随着z的增大而减小.在分界点z=-R和z=0处电势是连续分布的(z=-1.0×10-8m、z=1.0×10-8m 和z=0时，V=2.8249×104V).

图3 相对的半球体轴线上V 随z 变化的曲线

图4 球体轴线上V 随z 变化的曲线

图3 为相对的半球体轴线上的电势V随轴线坐标z变化的曲线.图2 和图3 拟合得到图4，图4即为两个相对的半球体结合得到的球体轴线上的电势V随轴线坐标z变化的曲线.当z>0 时，电势随着z的增大而减小，当z<0 时，电势随着z的增大而增大，当z=0时，电势最大为V=5.6497×104V.利用上述式(3)、(4)、(5)和(6)通过两个相对的半球体电势叠加也可求得球体轴线上的电势的表达式，当z>R时，将式(3)与式(4)中的z变换为-z的值相加，得到电势为，当0

2 分别选取面积元和薄圆盘为电荷元

先将半球体分割成许多薄圆盘，然后将薄圆盘分割成许多面积元，分别选取面积元和薄圆盘为电荷元.

如图5 所示建立极坐标系，薄圆盘看作电荷面分布，设电荷面密度为σ，坐标为r、φ的面积元的 面 积 为ds=rdφdr，所带电荷量为dq=σds=σrdφdr.

图5 面积元为电荷元示意图

面积元在P点处产生的电势为：

薄圆盘在P点处产生的电势为：

如图6 所示建立球坐标系，圆盘的半径为Rcosθ，厚度为dh=Rcosθdθ，P点到盘心的距离为Rsinθ+z.

图6 薄圆盘为电荷元示意图

半球体在P点处产生的电势为：

令Rsinθ=h，则：

当z< -R时，

当-R≤z<0 时，

当z=0时，将之代入式(8)可得半球体球心处的电势为：

3 分别选取面积元和半薄球壳为电荷元

首先将半球体分割成许多半薄球壳，其次将半薄球壳分割成许多面积元，分别选取面积元和半薄球壳为电荷元.

如图7 所示建立球坐标系，半薄球壳看作电荷面分布，设其电荷面密度为σ，面积元的面积为ds=R2sinφdφdθ，所带电荷量为dq=σds=σR2sinφdφdθ，它到P点的距离为r=

图7 面积元为电荷元示意图

面积元在P点处产生的电势为：

半薄球壳在P点处产生的电势为：

当z≠0 时，被积函数分子、分母同乘以2z得：

当z=0时，将之代入式(13)可得半薄球壳球心处的电势为：

如图8 所示建立球坐标系，半薄球壳的半径为r，厚度为dr，P点到半球体球心的距离为z.

图8 半薄球壳为电荷元示意图

半球体在P点处产生的电势为：

当z>0 时，

当z< -R时，

当-R≤z<0 时，

当z=0时，利用式(15)积分可得半球体球心处的电势为：

4 结语

通过电荷元的几种不同选取方法，给出微元法计算均匀带电半球体轴线上的电势，得到相同的结果.方法一直接在半球体中选取体积元为电荷元，计算三重积分求出其轴线上的电势；方法二分别选取面积元和薄圆盘为电荷元，先在薄圆盘中选取面积元为电荷元，计算二重积分求出薄圆盘轴线上的电势，然后将薄圆盘近似为电荷元，半球体看作半径不同的同轴薄圆盘叠加而成，积分可得其轴线上的电势；方法三分别选取面积元和半薄球壳为电荷元，先在半薄球壳中选取面积元为电荷元，计算二重积分求出半薄球壳轴线上的电势，然后将半薄球壳近似为电荷元，半球体看作半径不同的同轴半薄球壳叠加而成，积分可得其轴线上的电势.比较上述几种求解过程可以得出，方法一物理模型的建立最为简单，但是积分运算最为困难；方法二和方法三物理模型的建立难度相当，方法二积分运算比方法三更为简单；综合来看，方法二物理模型的建立及积分运算难易相对适中。对上述微元法计算均匀带电半球体轴线上的电势中的电荷元的几种不同选取方法作对比分析表明，恰当选取微元，是应用微元法计算电势的关键，微元的选取是灵活多样的，根据电荷分布有体积元、面积元和线段元，应根据具体问题选取特定形状的微元.