由2020全国卷Ⅰ第18题回顾几何作图法求极值问题

河北 王 萍

2020年全国卷Ⅰ第18题，考查了带电粒子在有界磁场中的临界极值问题，分析问题的方法是我们常用的轨迹圆缩放法，相信大家只要画出一系列不同的轨迹圆便能够找到极值的位置。这道题目难点在于如何找出最大圆心角的具体值，有一种解法是几何作图法。这就要求我们利用三角形的外角等于两个不相邻的内角之和，把求圆心角的最大值转换为求弦与半径夹角的最大值，再利用几何作图，当弦与磁场边界圆相切时，弦与半径夹角的角度最大，所对应轨迹圆的圆心角最大，进而求解。下面进行详细分析。

图1

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这个时候我们作一条辅助线，连接入射点和粒子在圆弧ab段上的落点，这样出现了弦与半径的夹角α，如图2所示。

图2

这种通过作图寻找极值的方法，我们在高中物理学习过程中不止遇到一次，在力学和运动学中都有涉及。下面我们一起回顾一下。

一、力的分解问题

当F1>F时，以F1大小为半径的圆与F2所在直线有一个交点，即为一组解，如图3所示；

图3

当Fsinα

图4

为了能够按要求分解，F1的最小值是多少？此时减小F1的大小，即减小以F1大小为半径的圆的半径，当F2所在直线与圆相切时，即为F1的最小值，如图5所示。

图5

此类问题，我们用到了分力F2所在直线与圆相切来寻找极值点的思想。

【例1】某物体在光滑的水平面上受到两个恒定的水平共点力的作用，以10 m/s2的加速度做匀加速直线运动，其中F1与加速度方向的夹角为37°，某时刻撤去F1，此后该物体

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A.加速度大小可能为5 m/s2

B.速度的变化率大小可能为6 m/s2

C.1秒内速度变化大小可能为20 m/s

D.加速度大小一定不为10 m/s2

【解析】撤去F1后F2变为合力，根据几何关系作图可以看出，F2的最小值为以F2大小为半径的圆与F1所在直线相切的时候，此值即为F1撤去后，合力的最小值；若F2的值比最小值大，则F1撤去后，合力的值也要相应增大，变化情况如图6所示。

图6

【点评】仔细读题中的四个选项，其本质上都是判断加速度大小。根据牛顿第二定律F=ma可求出合外力为确定值，F1与加速度方向的夹角为37°，即F1与合外力方向的夹角为37°，符合已知合力的大小、方向和一个分力的方向类型，适合应用几何作图法求另一个分力F2的最小值，再应用牛顿第二定律即可求出加速度的取值范围。

二、动态平衡问题

在求解动态平衡问题时，判断力的变化过程中，也存在极值问题。有些题目只要符合一定条件就可以通过几何作图法来寻找极值点进行求解。

【例2】如图7所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为FTA、FTB、FTC，保持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法正确的是

图7

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A.FTA、FTB一直减少

B.FTA一直增大，FTB一直减少

C.FTA先增大后减少，FTB先减少后增大

D.FTA先减少后增大，FTB一直减少

【解析】根据题意画出三力构成初始力的三角形，再根据OA绳拉力变化方向画出力的动态三角形，如图8所示，竖直向下的拉力FTC大小等于重力，方向竖直向上，所以，FTC大小方向均不变，O、B位置不变则OB绳子上的拉力FTB方向始终不变，OA绳上的拉力FTA由水平逐渐向上偏，可得OA绳上的拉力FTA先减小后增大，在OA旋转至与OB垂直时，OA绳上的拉力有最小值。由图可以看出OB绳上的拉力一直减小。故D选项正确。

【点评】本题考查共点力平衡问题中的动态平衡问题。解题的关键在于利用作图法画出三力构成的矢量三角形之后，能够正确分析出OA绳拉力的旋转方向，进而判断各力变化。

【例3】如图9所示，相距为d、倾角为α的光滑平行导轨(电源的电动势E、内阻r和定值电阻R均已知)处于磁感应强度为B的磁场中，在磁场的方向由竖直向上逐渐变成水平向左的过程中，一质量为m的导体棒ab始终静止不动，则

图9

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B.磁场变化过程中，导轨对导体棒的支持力逐渐增大

C.磁场变化过程中，磁感应强度大小先减小后增大

图10

图11

【点评】这两道题目虽然一道属于力学部分内容，一道属于电磁学部分内容，但是本质上都是考查共点力平衡，而这两道题都可以用几何作图法求解的原因在于研究对象均受到三个力作用，且这三个力中有一个力的大小和方向都不变，有一个力仅方向不变，故可以旋转第三个力来分析动态变化及极值问题。

图12

【解析】本题求解最小拉力的常规解法是先正交分解列平衡方程，再根据辅助角公式求极值。

设物块所受支持力为FN，所受摩擦力Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图13所示：

图13

由平衡方程得

Fcosα=mgsin30°+Ff，Fsinα+FN=mgcos30°

所以，当α=30°时sin(60°+α)取得最大值，则F此时为最小值，拉力F有最小值的夹角为α=30°。

图14

由图15可以看出，当拉力F与摩擦力和支持力的合力F合垂直时，拉力F最小。因为θ=30°，F合与重力夹角为60°，所以F与竖直方向夹角为30°，斜面倾角为30°，故F与斜面夹角为30°时，F有最小值。

图15

【点评】几何作图法求解拉力的最小值不需要复杂的数学运算，只需要通过作图和某个角的度数就能够分析拉力极值点，物理思想非常突出。但是这种方法也有局限，即物体必须是平衡时，才能够使用，否则物体受力无法构成闭合的矢量三角形。若遇到有加速度的情况，只能利用牛顿运动定律和辅助角公式来分析求解极值。

三、小船渡河问题

在小船渡河问题当中，船在流动的水中渡河时的位移大小和方向，取决于船速和水速的合速度方向。当船速大于水速时，由图16可以看出，只要小船船头偏向上游适当角度，就可以使小船垂直河岸渡河，过河的最短位移等于河的宽度d；当船速小于水速时，如图17所示，由几何关系可知，小船不再垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移我们可以以水速的箭尾为圆心，以船速的大小为半径画圆，逐渐改变船速方向的过程中可以发现，当合速度与圆相切的时候，合速度与水速的夹角最大，渡河的位移最短。

图16

图17

【例5】有一小船正在渡河，如图18所示，在离对岸30 m时，其下游40 m处有一危险水域。假若水流速度为5 m/s，恒定不变，为了使小船在到达危险水域之前到达对岸，则小船从现在起相对于静水的最小速度应是多大？

图18

图19

【点评】本题考查运动的合成与分解。解题的关键是找到小船满足题意的合速度方向，再利用几何作图法找到船速的最小值。

【变式训练】如图20所示，某人由A点划船渡河，假设河的宽度d=40 m，船在静水中的速度v1=4 m/s，水流的速度v2=5 m/s，求：

图20

(1)若船头指向垂直河岸，船渡河的时间；到达河岸的地点与B点的距离。

(2)若改变船头的指向，当船以最短位移渡河时，所需要的时间。

【解析】本题通过小船渡河考查运动合成与分解的知识。

(1)利用分运动和合运动具有等时性，渡河时间只在垂直河岸方向求解即可。

由d=v1t得t=10 s

到达的地点与B点的距离为小船沿河岸方向前进的分位移s=v2t=50 m。

(2)因为本题水速大于船速，故小船不可能垂直河岸渡河，这时我们以水速v2箭尾为圆心，以船速大小v1为半径画圆，当合运动与圆相切时为过河的最短位移方向，此时船头偏向上游夹角为θ，如图21所示。

图21

合速度v合=v2sinθ=3 m/s

以上我们回顾了几何作图法在力的分解问题、动态平衡问题以及小船渡河问题中的应用，而且这几类问题都用到圆的切线来寻找极值点，这种思想方法在高中物理试题中经常出现。如果我们掌握了这种方法，就可以省去很多繁琐的数学计算，尤其对于力和速度这种矢量，应用几何作图法求极值更加直观明了，物理意义更加明确。