电势叠加在高考试题的应用
——以2020年全国卷部分试题为例

贵州 杨 勇

一、点电荷周围的电势表达式推导

如图1所示，一带电荷量为Q的正点电荷，若规定无穷远处为零电势点，静电力常量为k，请计算A点的电势为多少。

图1

取无穷远为零电势点，即φ∞=0，根据电场力做功的特点，W=-ΔEp。设点电荷在A点的电势为φA，现将试探电荷q从A点移动到无穷远处，由电场力做功与电势能的变化关系得

WA-∞=-(Ep∞-EpA)

ΔW=FΔr

二、电势叠加在高考试题中的应用

【例1】(2020年全国卷Ⅱ第20题)如图2所示，竖直面内一绝缘细圆环，上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则

图2

( )

A.a、b两点的场强相等

B.a、b两点的电势相等

C.c、d两点的场强相等

D.c、d两点的电势相等

【命题分析】本题考查静电场的相关知识、场的叠加、等量异种电荷模型的综合应用，考查微元法在物理学中的应用等，旨在考查考生的理解能力和推理能力。

【试题分析】从本题的题述来看，考查的知识点为带电体周围电场分布及电场的基本性质，虽然绝缘环上所带的电荷不能看成点电荷来处理，但是题述中的四个点都具有一定的对称性和特殊性。对于a、b两点的电场强度大小可能仅凭高中知识不一定能计算出来，但是由于位置关于圆环的圆心对称，可以利用对称关系定性描述两点的电场强度大小及方向等；同时对于a、b两点电势的高低，可以结合已学知识，利用点电荷模型进行分析，从而找到解题的突破口。c、d两点与a、b两点不同的是其左右都是同种电荷，而且距离相等，联想场的叠加原理，可以通过叠加的方式把两点的电场定性地描述出来，再结合场的基本性质可以找到解题的办法。从本题的命题思路来看，主要考查考生对电场基本性质的掌握，同时也体现了对带电体周围电场的研究方法，把点电荷模型、微元法、对称思维等方法融入到考题中，从不同角度考查考生对电场的理解以及处理电场的基本方法，既考查了考生基础知识，又体现了题目的新颖和创新，因此，本题是一道具有高考选拔人才功能的好题。

解析一(点电荷模型)这里只介绍和讨论带电体周围电势高低的比较，对于电场强度这里不做详细的介绍。由于两个半圆带电体所带电荷量相等，且带电均匀，所以，可以把圆环分成n等份，当每份足够小时，每一份带电体可以看成独立的点电荷，由于两个半圆环对称，则关于a、b连线对称的异种电荷可以看成一对等量异种电荷模型，如图3所示，a、b两点必然在直线M、N上，则a、b两点的电势相等；由于对称性，可以得到c、d两点在同一条电场线上，沿电场线方向电势逐渐降低，所以，c点的电势高于d点的电势。

图3

图4

【点评】以上两种方法是通过定性描述和定量计算来比较空间中两点电势的高低，从两种不同角度来看，他们都有各自的优势。对于建立点电荷模型来比较，要对等量异种电荷模型的电场线分布以及特点充分掌握，比如，等量异种电荷的中垂面上电势处处相等，沿着电场线方向电势逐渐降低，这些在基础知识的复习时都不能混淆。建立点电荷模型分析a、b两点的电势高低时比较直观，但是在分析c、d两点时，可能一部分考生对场的叠加了解不深刻，不一定想到c、d两点在同一条电场线上。所以，若用点电荷模型，必须知道两圆环的电场叠加后c、d在同一条电场线上，这是判断c、d两点电势高低的重要突破点。应用点电荷的电势表达式解题相对清晰、明了，但是由于自高中阶段，大多数都不介绍点电荷的电势表达式，所以，很多考生会比较陌生，但是只要突破点电荷的电势表达式，应用定量计算描述某点的电势，相对从电场的特点来判断，思路要清晰得多。从本题来看，应用电势的叠加方式来比较空间中电势的高低也比较方便，教师在备考复习中，可以加强此方法的训练，让学生的思维得到发散和创新。

【例2】(2020年全国卷Ⅱ第21题)如图5所示，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是

图5

( )

A.沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大

B.沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小

C.正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大

D.将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负

【命题分析】本题考查的是孤立点电荷周围的电场和电势能的性质，旨在考查学生的推理能力和分析综合能力。

图6