以新题型强化区分功能 以新情境加强素养考查
——2020年全国高考数学试题分析与教学建议

北京 胡凤娟

2014年9月，国务院发布了《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，在考试科目设置中指出“考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变、分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会”.这里“不分文理科”影响最大的科目是数学，因为在现行考试的所有科目中，只有数学是文理分科的，那么施行文理不分科，既要让文科学生能够获得一定的分数，也要能够选拔出数学优秀的学生，这势必要求数学学科在题型、试卷结构等方面做出一定的改革.

2018年1月，《普通高中数学课程标准(2017年版)》出版，课程内容不再按文理分科设置，内容要求上整体比原文科有所增加，比原理科有所降低；同时，课程标准凝练了数学核心素养，研制了“学业质量”，对每个知识提出了“学业要求”.这些变化使高考可以依据课程标准进行命题.

2019年6月，国务院发布《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》，明确指出“深化考试命题改革.学业水平选择性考试与高等学校招生全国统一考试命题要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，实施普通高中新课程的省份不再制定考试大纲.优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题”.这里最明确的要求是不再制定考试大纲，高考命题要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据.

2020年1月，教育部考试中心发布了《中国高考评价体系》，中国高考评价包括高考的核心功能、考查内容和考查要求，明确了“一核”“四层”“四翼”的概念及其在素质教育发展中的内涵.“一核”为考查目的，即“立德树人、服务选才、引导教学”，是对素质教育中高考核心功能的概括，回答“为什么考”的问题；“四层”为考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”，是素质教育目标在高考中的提炼，回答“考什么”的问题；“四翼”为考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”，是素质教育的评价维度在高考中的体现，回答“怎么考”的问题.这是中国高考历史上的一件大事，从此高考考试大纲告别了历史舞台.

同时，2020年高考是《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》颁布之后的第一年，是《中国高考评价体系》颁布后的第一年，是北京、天津、山东和海南作为第二批高考改革试点省市采用文理不分科高考模式的第一年.因此，2020年是高考进入一个新阶段的元年.分析2020年的高考试题有助于老师们更好地把握高考，更好地进行教学.

总体来讲，2020年高考数学全国试题立足实际，稳中求新，强调数学学科核心素养的考查，体现时代特征和育人导向，力图落实高考评价体系的要求，为积极推进高考综合改革和高考考试内容改革以及发挥高考对高中数学教学改革的引领作用打下坚实的基础.在此基础上，2020年高考数学有所变化和创新.

一、题型变化，增强考试的区分功能

不分文理科的高考改革要求对数学学科提出了艰巨的任务和严峻的挑战.相当于用一份卷子区分出数学水平范围更大的学生，要求数学试卷在题型上有所改革，增强考试的区分功能.

2020年新高考Ⅰ卷(供山东省使用)和2020年新高考Ⅱ卷(供海南省使用)将原来的12道单选题改为8道单选题和4道多选题，选择题的总分不变、每道题的分值不变.因为题型的变化，将其中的4道题改为多选题，并按“全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分”的要求给分，使得学生的可能的得分数值增加了一倍，即原来学生的得分只能有以下13种可能：0、5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60，现在学生可能得到的分值数量大大增加，使得学生的得分结果呈现更多的可能性，可以增强考试的区分功能.

实际上，类似多选题，选择多个正确选项的填空题在以往是常见的，因此大家不必焦虑.我们看2020年新高考Ⅰ卷(供山东省使用)的第一个多选题：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·9)已知曲线C:mx2+ny2=1.

( )

A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

D.若m=0，n>0，则C是两条直线

答案：ACD.

该题考查学生对圆锥曲线基本概念和性质的记忆，如椭圆、圆、双曲线方程的特点，椭圆的焦点位置、圆的半径、双曲线的渐近线方程.

二、情境创设，突出数学的应用价值

《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》明确指出要“加强情境创设”.《中国高考评价体系》第四部分是“情境：高考评价体系的载体”.可见情境在高考中的重要地位.高考评价体系中所谓的“情境”即“问题情境”，指的是真实的问题背景，是以问题或任务为中心构成的活动场景.“情境活动”是指人们在情境中所进行的解决问题或完成任务的活动.在目前的高考考查方式中，问题情境和情境活动都是通过文字与符号的形式进行的.

在2020年的高考数学试题中，可以看到将对数学知识、能力、素养的考查融入新的情境中，体现了数学在社会生活中的广泛应用.如：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为

( )

A.20° B.40°

C.50° D.90°

答案：C.

该题借助日晷考查了学生的直观想象素养和数学阅读能力，涉及的数学知识主要是线线、线面平行和垂直的性质.该题的难点是读懂题意并用图形表示出球、平面、直线之间的位置关系.让学生感受中国古代数学文化的同时，感受数学在计时方面的应用.

(2020·全国卷Ⅱ文·3)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i

( )

A.5 B.8

C.10 D.15

答案：C.

该题考查学生的数学抽象素养，即理解用数学语言表达的规则.同时，将对数学抽象素养的考查融入音乐中，体会数学与音乐的关系.

(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

( )

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

答案：B.

该题借助新冠肺炎疫情考查学生的数学建模素养和数学阅读能力，涉及的知识有一元一次方程、指数函数性质和指数方程求解.该题的难点是理解“在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间”蕴含的数量关系.

2020年高考数学理科试卷中有创新情境的题目还有很多，如全国卷Ⅱ中的第4题考查学生使用等差数列求圜丘的石板数，全国卷Ⅲ的第4题使用Logistic模型预测新冠疫情，全国卷Ⅰ的第5题种子发芽率与温度之间的关系、第19题羽毛球比赛规则的问题等等.

创设新情境的试题近年来越来越多，越来越体现出对学生数学应用能力和数学阅读能力的要求.

教学中，建议教师注意培养学生多思考、多观察的习惯.首先，在生活中，观察校园、教室、家到学校路上的建筑等等其中蕴含的数学问题，比如：教师桌椅的高度是否合适、食堂就餐窗口的设计与建议等等，从身边的小问题出发，促进学生“用数学的眼光观察世界”；其次，在阅读时，这里的阅读可以是新闻、杂志、小说等等，根据其中谈到的情境进行数学思考，比如：疫情期间武汉原市长在新闻发布会中报告物资储备情况时反复修改数据，数感差导致即使有明显错误也感觉不到；再如7月13日，有媒体报道“4.1万名党员、干部、职工和学生，捐献热血5.1万吨”，稍有常识的人也能发现错误，要培养学生“用数学的思维思考世界”.

三、立足基础，强调核心概念和方法

《中国高考评价体系》在“四翼”中要求高考要围绕学科的主干内容，加强对基本概念和基本思想方法的考查.2020年高考数学试题较好地落实和体现了“四翼”要求，即基础性、综合性、应用性和创新性.如：

(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·5)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

( )

A.62% B.56%

C.46% D.42%

答案：C.

该题考查学生对随机事件的运算，是根据考查集合运算的情境进行改变的，即将“原来的多少位同学”换成了“百分之多少的学生”，通过学生参加不同项目的锻炼情况的考查，既可以考查集合的运算也可以考查随机事件的运算，这反映了随机事件与集合的本质关系，抓住了数学中的核心概念.

给出下列四个结论：

①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是________.

答案：①②③.

导数是高中数学学习中的核心概念，但是在教学中往往不顾概念的来龙去脉，忽略知识之间的联系.该题很好地体现了研究导数的意义和价值.

(2020·全国卷Ⅰ理·14)设a，b为单位向量，且|a+b|=1，则|a-b|=________.

该题考查学生的数学运算素养，涉及的知识是向量模的运算和向量加减运算法则.该题可以用不同的方法解决，如果用代数运算的方法则需要明确运算的方法，根据向量模的定义，需要求出向量a,b的数量积；如果仔细分析题目中的条件，分析要进行运算的对象，会发现：向量a,b是边长为1的等边三角形的两条边，问题进而解决，非常直观，需要借助向量加法和减法的运算法则的几何意义.该题很好地体现了高中数学中的基本方法.

四、创新试题，注重数学素养的考查

新世纪以来各国都在讨论培养什么样的人的问题，即回答关键能力、核心素养是什么的问题.我国借助高中课程标准修订之际，各个学科凝练了自己的学科核心素养.数学学科核心素养有：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.在2020年新课标颁布之后的第一次高考中，高考数学试题较好地落实了对数学核心素养的考查.如：

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

该题考查学生利用正弦定理、余弦定理进行逻辑推理和数学运算的素养.该题属于结构不良问题，需要学生自己判断、选择条件，设置一个完整的数学问题并解答.在高考数学中，这是新题型，体现了《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》中要求的“增加综合性、开放性、应用性、探究性试题”.

实际上，不管选择哪个条件，学生都应该有坚定的能做好的信心.但往往面临选择的时候，人们容易犹豫、徘徊、耽误时间.需要学生考场上进行判断、选择，体现了对学生数学素养的要求.

(2020·全国卷Ⅲ理·17)设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n.

(Ⅰ)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(Ⅱ)求数列{2nan}的前n项和Sn.

答案：(1)a2=5,a3=7,an=2n+1;(Ⅱ)Sn=(2n-1)·2n+1+2.

该题要学生首先猜想数列的通项公式，再加以证明，这个问法非常好.学生首先要有数学直观想象素养，能根据计算出来的前三项，猜想一个通项公式，进而证明是对的.据说，北京大学有一年《数学分析》考试成绩不如往常好，最后发现导致学生成绩不够好的一个原因是，有几道题老师换了问法，不是直接证明某个命题，而是给出命题，问是否成立，成立则需要证明，不成立则需要举反例.这是我们目前教学中、学习中比较欠缺的东西，在教学中，通常忽略过程，直接告诉学生结果，然后证明或证伪.因此，该题的问法非常好，值得提倡.这有助于引导教学中关注知识产生、发展的过程，有助于学生真正地理解知识之间的联系.

五、日常教学建议

课标在考试命题建议中写到“考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性、综合性；注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧；融入数学文化.命题时，应有一定数量的应用问题，还应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识，问题情境的设计应自然、合理.在命制应用问题、开放性问题和探究性问题时，要注意公平性和阅卷的可操作性.”可见，《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》《中国考试评价体系》《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》在考查内容、试题类型、情境设计几个方面的要求都是一致的.在第一部分的分析中，我们已经看到这些要求在高考数学卷中已经得到了很好的落实.

在今后的高考数学中将更多的关注数学本质、通性通法，考查学生的思维过程、实践能力和创新意识.

如何更好地抓住数学本质和通性通法呢？在本轮课标实施中，教育部给出的抓手是“主题教学”，有时候会说“单元教学”“深度学习”，我们认为本质上都是一样的.为什么要进行主题教学呢？目前试卷编制过程中一个很重要的方面是要对高中所学的知识达到一定的覆盖率，这就导致了知识之间的关系的断裂，使得教学中更加强调具体知识点，并且常常陷在堆积如山的知识点中，很难看清楚知识之间的层次——谁第一重要、谁不那么重要，导致教学时往往抓不住重点，抓不住关键点.因此，提出“主题教学”的目的是把相关的知识做一个整体的思考，搞清楚一个单元中、许多方法中到底谁是最重要的.因此，建议老师们在教学中进行整体思考和设计，开展“主题教学”.当然“主题教学”的开展需要一个团队的协作，需要不断地积累经验.