判断条件与结论关系的前提、方法和转化

安徽 闫传家 祝 峰

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中，采用了“主线-主体-核心内容”的结构形式设计课程内容.这种设计形式下，“常用逻辑用语”调整至初高中过渡内容的“准备知识”中.通过本段的学习，能够帮助学生学会利用常用逻辑用语梳理知识间的基本逻辑关系.特别是理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理、充要条件与定义的关系.下文通过实例，呈现解决条件与结论逻辑关系判断问题的必要前提、具体方法和常见转化技巧.

1.厘清“条件”和“结论”是前提

一般地，“若p则q”为真命题，指由p通过推理可以得到q.记作p⟹q，此时，称p是q的充分条件，q是p的必要条件.数学学习中，判定定理所阐述的是结论成立的依据，即判定定理给出了结论成立的充分条件；性质定理则阐述了一个数学研究对象所具有的性质，揭示这个研究对象的某个特征，给出的是结论成立的必要条件；充要条件的作用在于从不同角度刻画同一事物，是对问题进行等价转化的基本依据.在判断条件和结论之间的关系时，若对问题理解不透彻，会出现条件、结论混淆的情况，一旦两者颠倒，判断就会出现错误.

例1.(2020·天津卷·2)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的

( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

例2.(2019·全国卷Ⅱ理·7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

( )

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一平面

例1中a∈R是大前提，“a>1”是条件，“a2>a”是结论,故选A.例2中α∥β是结论，四个选项为条件，需从四个选项中遴选出其充要条件，故选B.这种“倒过来说”的方式极易把条件和结论混淆，求解过程中需先分清楚“条件”和“结论”分别是什么，才能准确做出判断.

2.选择恰当的方法是关键

分清条件和结论的基础上，条件关系的判断有两种具体方法.一是定义法，即利用充分条件、必要条件的定义判断.如果“若条件则结论”为真命题，那么“条件”的充分性具备；如果“若结论则条件”为真命题，那么“条件”的必要性具备.定义法的关键是准确判断两个命题真假.二是集合法，在一些问题中，若条件与集合A关联，结论与集合B关联，如果A⊆B，那么条件具备充分性，如果B⊆A，那么条件具备必要性.

2.1定义法

例3.(2020·浙江卷·6)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的

( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】大前提：空间中不过同一点的三条直线l，m，n；条件p：l，m，n共面；结论q：l，m，n两两相交.

如果三条直线l，m，n共面，则三条直线不一定两两相交，可以两两平行，或者其中两条平行且均与第三条相交.所以命题“若p则q”为假命题，所以条件不具备充分性.

如果三条直线两两相交且不共点，则三条直线一定在同一平面内.即“若q则p”为真命题，必要性具备，所以p是q的必要不充分条件，故选B.

【评析】概念和原理是问题求解的基础，解题中概念最有力量.厘清条件和结论后，结合相关知识，判断两命题的真假，即可依据定义获得条件和结论之间的逻辑关系.这种求解方法有时略显冗杂，但这是概念和原理所反映的基本思想，是条件和结论关系判断的通法.

2.2集合法

例4.(2020·北京卷·9)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的

( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】大前提：α，β∈R；条件：存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ；结论：sinα=sinβ.条件对应集合A={(α,β)|α=kπ+(-1)kβ,k∈Z}，注意到当sinα=sinβ时有α=2kπ+β或α=(2k+1)π-β，k∈Z，即α=kπ+(-1)kβ，所以结论对应集合B=A，所以“存在k∈Z，使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充分必要条件，故选C.

例5.(2019·浙江卷·5)设a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的

( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】大前提：a>0，b>0；条件p：a+b≤4；结论q：ab≤4.如图所示，大前提下，条件所对应的平面区域均在结论对应平面区域的内部，即条件对应点集是结论对应点集的真子集，所以a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件，故选A.

【评析】集合法判断首先要建立条件和结论的关联集合.例4条件和结论分别对应两点集，直接研究两点集关系即可做出判断.例5条件和结论也对应两点集，结合线性规划知识，给予两点集几何直观图形，通过图形可判断两点集之间的关系，即可获得条件、结论之间的逻辑关系.

集合法的关键步骤有二，一是依据问题情境，建立条件、结论的关联集合；二是准确判断两集合之间的关系.必要时需借助分类讨论、数形结合等数学思想方法.

3.等价转化合理等价转化是方向

判断条件和结论关系的过程中，等价转化体现在三个方面.一是两者关系不明显时，可对条件和结论进行等价转化，使关系明显；二是转化为“原命题”的“逆否命题”；三是转化为“原命题”的“否定”.

3.1对“条件”或“结论”进行等价转化

( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【评析】条件和结论的关系不明显时，即用定义法难以判断命题真假、集合法也不奏效时，可利用研究对象的多元表征，把“条件”或“结论”转化为另一种描述形式，使之显性化，以达到判断两者之间逻辑关系的目的.

3.2转化为逆否命题

【解法一】条件：p，结论：q.

当1-m=-2时，m=3，q对应集合为(-∞,-2)∪(4,+∞)不是(-∞,-2)∪(10,+∞)的真子集；

当1+m=10时，m=9，q对应集合(-∞,-8)∪(10,+∞)是(-∞,-2)∪(10,+∞)的真子集.

综上，m≥9.

【评析】从正面解决求出p、q的关联集合，由集合法获得m的取值范围.

【解法二】p是q的必要不充分条件，依据定义有：

【评析】利用原命题与其逆否命题的等价性，把p是q的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件，用p，q关联集合求解.

3.3转化为原命题的否定

例8.如果x,y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的

( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】条件p:x≠y：结论q:cosx≠cosy.

命题“若p则q”，为“任意不相等的实数x，y，使cosx≠cosy”，其否定为“存在不相等的实数x0,y0，使cosx0=cosy0”，为真命题，所以命题“若p则q”为假命题，即条件不具备充分性；

命题“若q则p”，为“任意满足cosx≠cosy的实数x,y，均有x≠y”，其否定为：“存在满足cosx0≠cosy0的实数x0,y0，使x0=y0”，为假命题，所以命题“若q则p”为真命题，即条件具备必要性.

所以p是q的必要不充分条件，故选B.

【评析】定义法判断条件和结论关系时，需判断两个命题真假.若命题从正面判断真假有困难，可以考虑其反面，即判断其“否定”的真假，利用命题与其否定真假性相反，获得原命题的真假.

4.结语

理解条件和结论的关系是进行逻辑推理的基础，对数学学习具有重要意义.理解过程中首先应明确条件和结论，在此基础上依据问题的不同特征，在“定义法”和“集合法”中恰当地选择一种方式进行判断.定义法即直接判断两个命题的真假，集合法则需先建立“条件”和“结论”的关联集合，通过集合关系得到条件和结论的逻辑关系.