“质疑”诚可贵 “证明”价更高

摘  要：一次数学小测验，说明一次函数、二次函数、反比例函数图象需要“正名”. 数学教学中，要坚持勇于质疑、善于思考、尊重证据、依照逻辑、实事求是、严谨求实的价值取向，要维护与强化学生敢质疑、敢证明、敢证伪的思维锐气，这无疑是时代的要求.

关键词：数学测验;函数图象;圆锥曲线;逻辑证明

一、问题提出

回顾学生初中学习函数的过程，当学生以一次函数三五对（或有限对）对应值为横坐标和纵坐标描点作图时，发现这些点共线，就称一次函数的图象是一条直线. 此时，大多数学生不會怀疑，但不排除少数学生可能担心是否存在某一对函数对应值，以其为坐标描点后破坏了各点共线的规律. 而二次函数和反比例函数的图象是学生几乎完全未知的图形，教师（教材）说什么就是什么，更谈不上怀疑. 进入高中学习了“曲线与方程”之后，学生类比“直线与方程”与一次函数及其图象，澄清上述怀疑，应该问题不大. 但是在没有坐标轴平移与旋转知识储备的前提下，学生对于“初中学习的二次函数、反比例函数的图象，与高中所学的抛物线与双曲线是不是一回事”就可能、也应该心生疑惑.

二、调查问卷

为评估学生的理性精神和科学态度，我们从北京某示范校高二学生中，选择了数学成绩较好的65名学生作为调查对象，针对上述问题，进行了一份小测验，题目如下.

1. 在初中，我们学习一次函数的图象时，找几对函数的对应值作为横坐标和纵坐标，描点，发现几个点共线，我们就称一次函数的图象是一条直线.

（1）当时对这个结论，你有过怀疑吗？（    ）

（A）怀疑 （B）不怀疑

（2）有没有担心多描一些点，就可能发生不共线的情况？（    ）

（A）有 （B）没有

（3）试用高中知识解释：一次函数[y=kx+b]的图象为什么是直线？

2. 初中学习的二次函数图象称为抛物线.

（1）与高中学习的抛物线是同一种曲线吗？（    ）

（A）是 （B）不是

（2）试用抛物线的定义说明二次函数[y=（1/4）]的图象是否为抛物线.

3. 初中学习的反比例函数图象称为双曲线.

（1）与高中所学的双曲线是同一种曲线吗？（    ）

（A）是 （B）不是

（2）根据双曲线的定义，说明反比例函数[y=1/x]的图象是否为双曲线.

三、统计结果

65名学生在同一时间内做题，收回65份答卷，结果统计如下.

第1题，（1）选择选项A和选项B的人数分别为29，36，分别占44.6%，55.4%;（2）选择选项A和选项B的人数分别为21，44，分别占32.3%，67.7%;（3）解释其图象为什么是直线，没有1人完成，仅有5人想利用直线方程解释，但没有说清楚.

第2题，（1）选择选项A和选项B的人数分别为54，11，分别占83.1%，16.9%;（2）有17人放弃了简答题部分，有39人把二次函数[y=（1/4）]转化为[x=4y]，从形式上说明了二次函数的图象是抛物线. 这虽然正确，但不符合题目用抛物线定义说明的要求. 其余9人试图用定义说明，提到焦点和准线，但不完整，即没有通过计算说明二次函数图象上的任意一点到焦点和准线的距离相等.

第3题，（1）选择选项A和选项B的人数分别为54，11，分别占83.1%，16.9%;（2）有42人放弃了简答题部分，其余23人试图用定义证明，但除3名学生基本完成外，大多数学生只写出了两个顶点的坐标，至多确定了焦点的坐标，缺乏完整的证明.

四、几点启示

1. 教师要倡导并培育学生敢质疑、敢证明、敢证伪的思维品质

令我们惊讶的是，在3道测试题中，选择“怀疑、担心与否定”的人数相对偏多. 这从客观上说明：在解析几何教学中，教师没有在讲直线、抛物线、双曲线时，分别联系一次函数、二次函数和反比例函数. 这恰好歪打正着，减少了做测试的干扰因素.

第1题的解答耐人寻味，怀疑一次函数图象是直线的竟有29人之多，不怀疑的有36人，担心不共线的有21人，不担心不共线的有44人. 这种数据“正相关”的特征说明学生的答卷是认真的. 同时，“怀疑”和“担心”的人数远远超过了我们的预想. 这虽然在没有“对比组”的情况下，说服力不强，但是也从一个角度说明这些学生具有一定的理性精神和科学态度. 再联系到第2题和第3题，有11人认为二次函数、反比例函数的图象与高中所学的抛物线、双曲线不是同一种曲线，这虽然是错误的选项，但却反映出他们不轻信、重证据、谨慎求真的态度，至少可以说是学好数学的一种潜质.

在实际课堂教学中，在一定程度上存在着这种现象：教师照本宣科，多说一句怕错了;学生被动听讲，唯命是从，少有独立思考、提出不同见解，少有从心存疑虑的困惑到质疑辨析的争论. 如此这般，何谈创新人才的培养？看了这份答卷，笔者略感欣慰，同时感到有责任在教学中维护好这份可贵的“怀疑”，实时创造一些值得怀疑的问题，强化学生敢质疑、敢证明、敢证伪的思维锐气，这无疑是时代的要求.

2. 要深化理解方程刻画动点坐标的功能

第1题的解答部分无1人完成，这是非常意外的事情，联想到第2题和第3题，解答部分的答题情况都远远优于第1题. 如此反常，个中缘由值得我们深刻反思.

首先，可能因为抛物线、双曲线都有明确的定义，要说明函数图象是抛物线、双曲线，可以从定义入手，而直线是个只能描述的不定义概念，所以虽然图象简单，但却无从下手.

其次，可能囿于学生的推理能力. 有的学生复杂问题也许能推导几步，面对简单的推理过程，反倒无话可说了. 试想，既然二元一次方程[Ax+By+C=0]表示直线，那么一次函数解析式[y=kx+b]是二元一次方程，所以一次函数的图象是直线. 这在逻辑中是典型的“三段论”模式. 甚至从一次函数解析式与直线的斜截式形式完全相同，直接下结论即可.

最后，与学生对“曲线与方程”的关系理解不到位有关. 有的学生可能会背诵“曲线上的点的坐标是方程的解，以方程的解为坐标的点在曲线上”，但不解其意，认识不到方程是对曲线上的动点运动不变量的刻画，方程反映出曲线上动点坐标在运动变化中的相互依存、相互制约的关系. 从这个角度来看，方程与函数解析式在揭示动点坐标变化的规律方面并无二致. 另外，系统观察动点运动，可以发现这样的规律，如果动点沿直线运动，其坐标[x，y]之间的关系可由线性方程表达，如果动点运动成曲线，其坐标[x，y]之间的关系便不能用线性方程表达.

话已至此，请宽恕笔者的节外生枝，额外回答一个广泛存在的疑问：圆与其他圆锥曲线都有明显的动点运动不变量（如半径、定长等），便于利用方程来刻画，而直线的动点运动不变量是什么？这个问题教材没有明示，笔者愚见，直线的动点运动不变量是其斜率[k]（不含垂直于[x]轴的直线），运用直线上的两点[P0x0，y0，Px，y]确定斜率的公式，即得[k=y-y0x-x0]. 若视[P0x0，y0]为定点，[Px，y]为动点，则[k=y-y0x-x0]就反映出直线上动点坐标[x，y]在运动变化中的依存、制约关系，所以称[k=y-y0x-x0]为缺少点[P0x0，y0]的直线方程也不为过. 那么，如何把点[P0x0，y0]补回来呢？只需去分母，[k=y-y0x-x0]即可整理成直线方程的点斜式，从而确定了点斜式在直线方程中的奠基地位.

3. 如何说明二次函数的图象是抛物线

在笔者的教学实践中，在讲“抛物线”一节时，往往设计一个探究题：根据抛物线的定义，证明二次函数[y=14x2-x]的图象是抛物线. 之所以明确要求用定义证明，是因为如果把[y=14x2-x]化为[x-22=4y+1]，从形式上说明该曲线是由抛物线[x2=4y]经过平移得到的，在学生没有学习坐标轴平移知识的前提下，这理解起来有些困难. 相反，根据定义证明，不仅自然，还有利于培养学生从定义出发思考问题的习惯.

问题的解决并不难，学生可以根据函数图象开口向上、对称轴是[x=2]、顶点为[2，-1]，再借鉴抛物线的焦点、顶点和准线的相对位置关系，设点[F2，-1+t]，直线[y=-1-t t>0]，二次函数图象上的任意一点[P0x0，y0]，记点[P]到直线[y=-1-t]的距离为[d]，根据[PF=d]来计算[t]的值. 如果存在[t]的某个合理的定值，就肯定函数的图象是抛物线，否则就不是. 事实上，由[x0-22+y0-t+12=y0+t+1]，得[x0-22=][y0+t+12-y0-t+12]. 进一步，化简，可得[x0-22=][2t2y0+2]. 再把[y0=14x20-x0]代入，得[t=1]. 由此说明函数[y=14x2-x]的图象是以[F2，0]为焦点、[y=-2]为准线的抛物线.

至于一般的二次函数[fx=ax2+bx+c]（不妨设[a>0]），我们可以参阅人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册第133页的“探索与发现”栏目. 教材为我们提供了沿向量平移的方法，证明了其图象是抛物线. 也可以根据初中已经掌握的结论，二次函数[fx=ax2+bx+c]的图象与函数[fx=ax2]的图象，除位置可能不同外，形状完全相同. 因此，只需证明函数[fx=ax2]的图象是抛物线即可. 于是，运用上例的方法，易知函数[fx=ax2]的图象是以[0， 14a]为焦点的抛物线.

4. 如何论证函数[gx=kx k≠0]的图象是双曲线

不像二次函数，教材对这个问题无任何提示. 为方便读者，在不旋转坐标轴的前提下，给出如下讨论.

类比解析几何中的双曲线，先为反比例函数[gx=kx]（不妨设[k>0]）寻找两个定点[F1，F2]，核实图象上的任意一点[P]，是否满足[PF1-PF2]是一个常数. 考虑到双曲线的焦点在对称轴上，那么，此处的点[F1，F2]，我们也在函数图象的对称轴[y=x]上寻找. 如图1，假设反比例函数[gx=kx]的图象就是双曲线，那么，显然它有两条相互垂直的渐近线（坐标轴），于是可知它的离心率为[2].

根据题意，易知函数的图象与对称轴[y=x]的交点（可能的顶点）可能为[A1-k，-k]，[A2k， k].再根据离心率，则得可能的焦点为[F1-2k，-2k]，[F22k， 2k].

设[Px0， kx0]是函数[gx=kx k≠0]的图象上的任意一点，则可以得到[PF1]和[PF2].

综上所述，函数[gx=kx k>0]的图象上任意一点到定点[F1-2k，-2k，F22k， 2k]的距离之差的绝对值是常数[22k].

因为[F1F2=4k]，并且[22k<F1F2]，所以函数[gx=kx k>0]的图象是双曲线. 对于函数[gx=kx][k<0]，类似可证.

5. 意外收获

在讨论反比例函数图象是否为双曲线的过程的启发下，部分学生把研究的触角指向一对司空见惯的函数[y=x±1x]（俗称对勾函数），因为他们凭直观感觉，这两个函数的图象似乎也是双曲线. 经过一番深入的讨论，我們发现函数[y=x±1x]的图象是一对共轭双曲线. 下面以函数[y=x+1x]的图象为例，介绍一下我们的讨论过程.

（1）假设函数[y=x+1x]的图象是双曲线，推断可能的焦点坐标.

根据函数图象的走向，不难猜想[y]轴和直线[y=x]是双曲线的两条渐近线，且斜率为正的对称轴是倾斜角为[3π8]的直线，它的方程为[y=xtan3π8=2+1x]，对称轴与函数图象的交点即为顶点.

综上所述，函数[y=x+1x]的图象上任意一点[P]满足[PF2-PF1=222+1]，且[222+1<F1F2].

所以函数[y=x+1x]的图象是双曲线.

关于“函数[y=x-1x]的图象也是双曲线，且与[y=x+1x]的图象共轭”的讨论，限于篇幅，不再赘述，其图象如图2所示.

五、结束语

章建跃先生指出，科学精神与理性思维是数学学科素养的灵魂. 那么，广大一线教师怎样的教学行为，才能把科学精神与理性思维习惯的培育自然融入日常的教学中呢？反观本文所述为一次函数、二次函数、反比例函数图象“正名”的系列工作，这与日常单纯以应试备考为目的的教学工作相比，反差很大，堪称“另类”. 但是这种“另类”是教师引导学生“用数学眼光观察，用数学思维思考，用数学语言表达”的一次小小的实践. 在这个过程中，体现出倡导勇于质疑、善于思考、尊重证据、依照逻辑、实事求是、严谨求实的价值取向，这对全面提升学生的数学学科核心素养来说，无疑是十分有益的.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

收稿日期：2021-07-16

作者简介：崔浩（1968— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.