以历史上的数学现象为知识生长的基点

摘  要：数学知识有三个顺序：历史顺序、逻辑顺序和心理顺序. 在高中数学课堂上，教师可以有意识地把数学史融入平时的数学教学中. 结合平时的高中数学教学，从高中数学的教学目标及对课程标准的分析出发，通过6个教学片断的设计，阐明了如何以历史上的数学现象为知识生长的基点，促进学生数学学科核心素养的提升. 同时，对数学史融入数学课堂进行了反思，旨在更好地研究“数学现象”视角下的概念教学.

关键词：数学现象;数学史;概念教学;知识生长

数学史在数学课堂中的融入方式可以是多种多样的，教师应该根据教学的需要选择合适的资料和教学方式. 融入数学史的教学必然渗透着美育，学会审美不仅可以让学生陶冶情操，而且能够改善其思维品质. 本文以人教A版《普通高中教科书·数学》中的“數系的扩充和复数的概念”为例，就如何在高中数学教学中融入数学史谈谈笔者的一些看法.

一、教学目标及课程标准分析

本节课的教学目标为：通过方程的解，认识复数;理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》对本节内容的教学要求是：了解复数概念形成的重要发展阶段，体会其中的理性思维、创新精神和数学文化.

教学过程中，教师应该透视数学史，向学生介绍虚数及复数概念的引入所经历的曲折过程，这既展示了数学家的想象力、创造力，以及不屈不挠、精益求精的精神，也让学生感受到了数学的文化和精神，有助于学生理解复数的概念和意义.

二、教学片断设计

片断1：分析现象，提出问题.

学生活动1：分析数学史中涉及的数学现象，发现并提出问题.

问题1：将数字10分成两部分，使他们的乘积等于40，如何求这两部分？

让学生自主探究，提出用方程解决问题的方案. 例如，设其中一部分的值为[x]，得到的方程为[x2-][10x+40=0]. 学生在解方程中发现，由于负数不能开平方根，该方程在实数范围内无解.

【设计说明】问题1是卡尔丹在《大衍术》中提出的，他采用创设“新数”的方法来解决，为日后虚数的诞生埋下伏笔. 此处省略历史背景，直接抛出问题，易于学生接受并分析该问题在实数范围内无解的结果，设置情境冲突，提出实数集有进一步扩充的必要. 此片断通过对数学现象的分析，让学生在解决问题的过程中发现矛盾，从而提出新的问题.

片断2：展示历程，归纳要素.

学生活动2：课前让学生收集素材，说明数系的扩充是生产实践与社会发展的需要.

为了让素材具有逻辑性，课前规定素材收集的顺序：（1）自然数的产生;（2）引入负数，数集由自然数集扩充为整数集;（3）引入分数，数集由整数集扩充为有理数集;（4）引入无理数，数集由有理数集扩充为实数集. 数的产生和发展既是社会生产实践的需要，也体现了数学可以刻画现实世界的简洁之美，为社会的发展提供动力.

学生活动3：通过解方程，让学生了解数系的扩充是数学内部发展的需求，并归纳出数系的扩充所涉及的相关要素.

问题2：在自然数集中，方程[x+3=0]有解吗？

问题3：在整数集中，方程[2x-1=0]有解吗？

问题4：在有理数集中，方程[x2-2=0]有解吗？

上述方程都是无解的. 将数集由原有的自然数集扩充为整数集，问题2就有解，解决办法是“添加”负数. 依此类推，问题3的解决办法是“添加”分数;问题4的解决办法是“添加”无理数. 在这个教学片段中，教师应该让学生感受到，在数集的扩充过程中原有的运算及其性质仍然适用.

【设计说明】此部分从生产实践与社会发展的需要和数学内部发展的需求两个方面说明数系历次扩充的必要性和合理性. 计数的需要产生自然数，为表示具有相反意义的量引入负数，为测量与分配的需要引入分数，无理数的发现引发第一次数学危机，这些历程均可以让学生收集相关材料来说明. 解方程的过程，让学生挖掘出数系的扩充需要有两个关键要素：每一次数系的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”一种新的数得来的;在新的数集中，原有的运算及其法则仍然适用. 历史上数系的扩充都是从这两个关键要素上考虑，以解决某些运算在原来数集中不可以实施的矛盾. 由此可见，数学应用过程中的规律和逻辑之美，也为解决片断1中方程在实数范围内无解的问题提供了启示.

片断3：透视历史，发现新数.

学生活动4：通过对虚数发现历史的回顾，让学生发现引入虚数单位[i]的合理性.

历史回顾1：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：要把10分成两部分，使两者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决. [10=5+-15+][5--15]，[40=5+-155--15].

问题5：假如我们承认[-15]是“数”，那么[-15+][-15]和[-15 · -15]的结果是什么？

问题6：假如我们承认[-15]是“数”，那么[-4]，[-9]之类的“数”是否可以用[-1]来表示？是否可以计算[-1+-4+-9]的结果？

历史回顾2：1637年，法国数学家笛卡儿把类似于[-1]的新数，起名为虚数，即“虚的数”，与“实数”相对应.

问题7：如果把[-1]作为“数”，有什么不妥当的地方吗？

历史回顾3：1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用到符号“[i]”，满足[i2=-1]，且称为虚数单位.

问题8：引入虚数单位[i]后，[-15]之类的“数”可以怎样表示？这样表示是否合理？

问题9：如果要进一步扩充数系，考虑前面数系扩充的要素，对[i]应该如何规定？

作为“新数”，[-15]必然与前面所讲的数系扩充的要素“在新的数集中，原有的运算及其法则仍然适用”相矛盾. 透视历史的进程，发现虚数单位[i]并规定其意义，从而产生“新数”解决矛盾. 教学中，说明其合理性和必要性是这个环节的关键.

【设计说明】虚数的发现经历了长达两百多年的历史，这里面凝聚着数学家的努力、坚持和创造. 在一节课的学习中，让学生生成虚数显然是不真实的，但通过对历史的梳理，可以让学生经历虚数发展的过程，从而让学生对虚数概念的形成有更深的体验. 对于[5±-15]，卡尔丹说过，无论我多么不愿意，这两个数确实符合我们的要求. 于是，他成为第一个承认虚数的人. 可见假设[-15]是“新数”的教学是卡尔丹和笛卡儿透过历史对我们的指导，只有基于这个假设，学生才能尝试对这类数进行加、减、乘、除运算，发现这类数符合运算法则. 接下来，教学中通过对[-4]，[-9]与[-1]的关系的分析，引导学生从数学的本质上认识[i2=-1]，体会欧拉用虚数单位[i]这一符号来表示[-15]这类“数”的创造性、必要性和实用性. 上述教学片断中，通过数学史在教学过程中的演绎，让学生体会形成虚数的過程中的两个要素的应用. 学生从逻辑上和心理上都自然而然地接受了虚数单位[i]，正是合理有效使用数学史的价值. 虚数单位[i]的产生，正是基于欧拉对数学本质的认识，他所独具的非凡的思维品质创造出[i]这个兼具数学逻辑之美和简洁之美的新数，可见审美之关键. 片断3通过合理呈现数学现象，让学生亲身经历数学概念生成的过程，使他们感受概念形成的思维与现实的互动，让他们体验思维的魅力和数学的智慧.

片断4：激活联想，抽象概念.

学生活动5：应用实数集的运算法则，使用[i]创造一些新数，从中抽象出复数的相关概念.

问题10：根据虚数单位[i]和实数，你能根据加、减、乘的运算，创造一些数吗？

问题11：你所创造的新数，可否归纳总结其一般特点，并用一般的结构表示？

问题12：在什么条件下，复数[z=a+bi a，b∈R]是实数？

问题13：复数集[C]和实数集[R]之间有什么关系？

使用新数[i]和运用实数集的运算法则是数系扩充的必要条件，通过学生活动，我们可以获得[6i]，[-4+2i]，[2-i]，[4+3i]之类的数，让学生从中归纳出复数的一般形式[a+bi]，并且让学生分析出[a]，[b]均为实数这一重要条件. 事实上，学生也会提出[i2]，[1-ii]之类的数，教师可以通过分析[i2=-1]，让学生课后思考这些数是否都可以用结构[a+bi a，b∈R]来表示.

【设计说明】归纳是推理的一个重要形式，在应用数系扩充的两个要素下，让学生从自己列举的复数中抽象归纳出复数的结构，并生成复数集的概念. 通过对复数[z=a+bi a，b∈R]的实数条件的探讨，自然引出虚数、纯虚数、复数的实部、复数的虚部等相关概念. 在探究复数在何时为实数的条件下，学生自然可以探索到实数集[R]是复数集[C]的真子集，这就说明在引入新数[i]并应用实数集运算法则的规定下，实数集[R]扩充为复数集[C].

片断5：数学应用，理解概念.

学生活动6：通过例题解答，让学生进一步理解复数及相关概念，并从中发现复数相等的条件.

问题14：说明下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 4，[3+2i]，0，[12-3i]，[-3-12i]，[-0.2i]，[6i2].

问题15：实数[m]取什么值时，复数[z=mm-1+][m-1i]是实数？虚数？纯虚数？

问题16：[a=0]是复数[z=a+bi a，b∈R]为纯虚数的充分条件吗？

问题17：实数[m]取什么值时，复数[z=mm-1+][m-1i]是[6+2i]？

问题18：试说明两个复数[z1=a+bi a，b∈R]和[z2=c+di  c，d∈R]相等的充要条件.

问题19：已知[2x-1+i=y-3-yi]，[x，y∈R]，求[x]与[y].

通过一系列问题，让学生明晰复数的结构，并进一步理解复数的相关概念，此处对[6i2]的辨析就是让学生对复数的结构深入了解. 问题16的设计，让学生进一步辨析纯虚数的概念.

【设计说明】让学生从具体问题中进一步理解复数的实部、虚部，以及复数为实数、虚数、纯虚数应满足的条件. 从具体实例出发，让学生探究两个复数相等的充要条件，并应用两个复数相等的概念解决问题.

片断6：回顾总结，拓展延伸.

学生活动7：让学生对本节课的内容进行回顾总结，并对一些内容拓展延伸.

拓展延伸1：试探求形如[1-ii]，[1-i3]的数的实部和虚部.

拓展延伸2：阅读卡尔丹求解一元三次方程的相关历史介绍，体会一元三次方程在复数范围内的根所具有的对称美.

拓展延伸3：实数能比较大小，复数能否比较大小呢？试判断，并说明理由.

拓展延伸4：作为一种新的数学工具，复数在数学、物理等多个领域中都有着广泛的应用，你能否找一些复数应用的例子？

【设计说明】让学生回顾数系扩充的历程，并对数系扩充的条件进行总结，指出复数的引入完成了中学阶段数系的最后一次扩充. 拓展延伸的内容，有对今后所学的复数的运算法则的引导;有从复数的几何意义上探索复数的数形结合之美，探索一元三次方程在复数范围内的根所具有的对称美;也有让学生收集复数的实际应用的例子. 通过对历史和现实的学习，让学生感受虚数不“虚”，体会数系扩充的必要性和重要性.

三、教学反思

1. 揭示问题本质，材料贴近学情

在高中数学内容中，涉及数学史的资源非常丰富. 教师在选择的时候，必须考虑所选择的数学史是否能揭示问题的本质，是否贴近学生的学情.“数系的扩充和复数的概念”一节内容，选择的数学史关键在于说明两个问题：一是通过数学家经历的问题和矛盾，指出实数系扩充的必要性;二是数学家经过不懈努力，通过创设新数[i]来构建复数系. 因此，教师选择的历史材料，必须围绕教学目标，并且要考虑章节的整体规划和学生的学情. 事实上，欧拉使用虚数单位[i]只是复数历史发展进程中的一个重要节点. 在此之后，高斯研究复数与平面上的点的一一对应关系，复数与向量的一一对应关系，阐述复数加法和乘法的几何意义，之后才比较完整和系统地建立了复数的理论. 教师可以在本章后续的“复数的几何意义”的教学中介绍相关历史，并引导学生发现复数不能比较大小. 但是，这些都不是虚数的本质属性，在没有高斯平面之前很久，虚数就被认识了，而复数的“序”也可以用另外的形式建立起来，如字典顺序.

选择数学史，要充分考虑学生的学习基础和能力. 例如，一元三次方程求根公式的引入，确实符合数学史的发展，但是从教学实际来说，学生认识一元三次方程的求根公式需要一定的基础和时间，这个引入不太符合学生的接受能力. 本节课的教学从卡尔丹《大衍术》中的问题引入，既揭示了复数起源于负数开平方问题，也考虑到学生具有解二次方程的基础，便于学生抓住问题的本质和矛盾的焦点，迅速进入学习状态.

数学史为我们提供了什么？提供了数学现象，它是可以用来观察、思考以形成认知和表达的. 千万不能把数学史当作知识来教. 如果那样，数学史就失去了它的文化韵味和发展功能.

2. 理清发展脉络，有机串联历史

课堂教学中，教师必须根据教学目标、教学要求和学生的学情，选择合适的数学史，并将之串联，这样才能使整个课堂教学主题明确、脉络清晰.

在实际教学中，围绕本节课的教学目标“通过方程的解，认识复数”，从给出方程在实数范围内无解的矛盾引入，通过研究一系列给出方程的解的情况，让学生经历数系从自然数集、整数集、有理数集到实数集扩充的历程，并从中归纳出数系扩充必须符合的两个要素，为实数系的扩充做好铺垫. 在此过程中，通过史料，学生也发现数系的扩充是人类文明发展的需要. 由于计数的需要，发明了自然数集;由于测量和分配的需要，发明了非负有理数集;由于刻画相反意义的量的需要，发明了有理数集;由于度量正方体对角线长度的需要，发明了实數集. 接下去，通过与学生一起回顾卡尔丹、笛卡儿、欧拉三位数学大师对复数发现的贡献，让学生经历与数学大师一起发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程. 必须要指出的是，数学大师的足迹接近复数和虚数的进程历时两个多世纪，大师们在别人习以为常的现象中发现问题并穷追不舍的精神，值得学生追随并学习.

透视历史的过程，教师把思维的能力教给学生，让学生自己探究、评判和选择. 庞加莱指出，教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段. 数学史记载着人类获取知识的来龙去脉，教师通过思考、整理将它再现于课堂，发挥其蕴涵于数学知识的深刻教育价值，必将对学生思维的成长有非凡的意义.

3. 透视历史现象，渗透美育教学

对数学美的认真审视和正确应用，是富有智慧的教学的表现. 它能培养教师的教学能力，激发学生的学习兴趣，让学生感受到艺术的感染，提高发现的能力，形成积极的人生态度.

在教学设计上，本节课通过对历史现象的分析和方程解的探究两条线索，借助社会发展和数学发展的历史，让学生逐步感受复数的概念生成，在这个过程中渗透数学美，让学生获得对数学美的审美能力，培养了学生对美的鉴赏和追求.

实际教学过程中，通过方程解的讨论探究出数系扩充所需的两个要素，欧拉创造性提出虚数单位[i]构建复数系，通过对一些复数的讨论归纳复数的结构，这些都体现了数学的简洁之美、逻辑之美. 课后，让学生探究一元三次方程的相关历史和复数的几何意义，这既是教学中的一种合适的留白，又通过探究活动让学生体会了对称美对复数发现的重要意义.

在数学的历史上，数学家们一直在讨论数学中有关美学方面的特征. 开普勒说过，数学是这个世界之美的原型. 可见，发现美是数学发展的一个重要动力. 教师通过透视历史，与学生一起领略数学美，既是自身教学能力、审美能力的一种提高，也能让学生在情感上享受美，激起学生的学习热情，从而提升学好数学知识的信心.

四、结束语

苏霍姆林斯基说过，教育的艺术就在于能看到取之不尽的人类精神世界的各个方面. 作为人类认识过程中的一种现象，数学知识有它的三个顺序：历史顺序、逻辑顺序和心理顺序. 把数学史融入数学教学，就是让我们有意识地利用这三种顺序. 对于很多数学知识，这三种顺序是一致的，教学中要遵循这个顺序. 但是也有一些是不一致的，这时就要选择尊重学生的心理顺序，因为这样的顺序让学生觉得自然，容易产生愉悦感，也就是产生美感.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]水菊芳.“数学现象”视角下的概念教学[J]. 江苏教育，2018（43）：27-30.

[3]孙四周. 现象教学的内涵与价值[J]. 教育研究与评论（中学教育教学版），2018（3）：5-9.

[4]祁平. 新课程背景下数学教学的哲学思考[J]. 数学通报，2007，46（2）：18-22.

收稿日期：2021-06-23

基金项目：江苏省第十三批教研重点自筹课题——“数学现象”视角下的概念教学（2019JK13-ZB37）.

作者简介：任晓松（1975— ），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育教学研究.