核心素养视域下的“直线与平面垂直的判定”教学案例分析

陈静安　孟胜奇　杨彩如

摘  要：运用案例分析法，探究“直线与平面垂直的判定”课题的教学目标界定及其教学设计策略，凸显学生在问题情境的驱动下，进行实验操作、观察比较、抽象概括，经历从现实生活中抽象出图形关系，建构直线与平面垂直的概念界定，引领学生探究将无限的线线垂直问题转化为有限的线线垂直的判定方法的再发现过程，从中发展学生的直观想象、数学抽象和数学建模素养，培养学生比较辨析、发现创新的意识和精神，感悟数学来源于实践并服务于实践的应用价值、科学价值、审美价值.

关键词：核心素养;转化思想;数学抽象;图形关系

一、问题背景

20世纪90年代以来，国际数学教育改革对传统欧几里得几何教学的定位和几何推理的教学要求发生了变化，减弱了对演绎推理的要求，强调学生从现实问题或情境出发，运用合情推理进行再发现和再创造的能力. 从单一注重几何的逻辑推理，转向强调全方位发挥几何的教育价值，特别是几何在发展学生直观想象素养，以及观察、实验、类比、归纳等动手实践能力和发现创新思维方面的教育价值. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）也明确指出，立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系. 人们通常采用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念. 在《标准》及教材中，关于直线与平面的位置关系主要讨论了平行与垂直两种，而在平行与垂直位置关系中又重点研究其性质定理与判定定理.

关于“基本图形位置关系”这一部分内容，《标准》在第四部分课程内容中明确提出的教学要求为以下几个方面：① 借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系. ② 从立体几何的定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，归纳出空间中线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理. ③ 能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 进一步追溯直线与平面垂直的判定的来龙去脉，不难发现它既是空间中线线垂直关系的拓展，又是连接面面垂直关系的纽带. 同时，也为今后研究空间角与距离的度量等打下坚实的基础. 因此，它作为立体几何中的基础知识，是最重要的空间位置关系.

《标准》是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求，它是教材编写、教学评价和考试命题的依据，是国家评价课程、进行教学质量检测的基础. 它反映着国家对高中阶段的学生在“四基”“四能”和数学核心素养及情感态度与价值观发展等方面的基本要求. 根据《标准》的要求和对教材的具体分析，相对于传统的教学大纲和教材，新课程对一些内容的定位发生了变化. 上述判定定理不要求证明，但是要求学生能够理解这些判定定理，并学会用它们去分析和解决一些简单的问题. 因此教师使用教材教学面临的一个关键问题就是在不要求证明的前提下，在课堂上如何讲授线面垂直的判定定理. 这与传统的教学处理有很大不同. 因此，我们的核心问题是： 如果不证明判定定理，如何帮助学生认识、理解和掌握点、线、面之间的位置关系及其判定定理，如何运用它去分析和解决问题.

二、聚焦核心素养发展的教材分析与学情分析

1. 教材分析

教材是教学的蓝本和教学目标制定的具体依据. 先简述“直线与平面垂直的判定”在教材内容中的编排顺序与呈现方式，进而剖析该课题中所包括的知识点，知识点发生、发展的因果逻辑关系，以及其中蕴涵的数学思想与方法.

不论是人教版教材还是北师大版教材，该课题先借助类似旗杆与其地面上影子的位置关系的讨论，引领学生观察、辨析、探究、发现. 虽然影子随着时间及日照的变化而变换位置，但是旗杆和其影子的垂直关系不变，旨在引导学生发现旗杆所表征的直线与其影子所确定和表征的平面（即地面）的垂直关系不变，并且通过平移旗杆发现，平面上的任意直线都与旗杆垂直，在此基础上发现和抽象出直线与平面垂直就是直线与平面上的任意（所有）直线都垂直，进而建构与揭示直线与平面垂直的概念. 本课题蕴涵了“空间问题转化为平面问题”“无限转化为有限”“空间线面关系界定转化为空间线线关系定义”的数学思想方法.

接下来提出问题：如何判断一条直线与一个平面垂直？并借助具体问题“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线与这个平面垂直”引发学生发现并思考，激发学生的认知需求. 通过将三角形纸片翻折后竖起放置在桌面上的动手操作，引领学生探究发现可以将无限的线线垂直问题转化为有限的线线垂直的判定，蕴涵了将空间无限的线线关系判断转化为空间有限的（三条）线线关系判断的思想与方法. 最后，教材设置了难度依次递进的例1至例3，帮助学生深化理解和巩固运用判定定理.

相对于高中生的认知结构、思维水平和认知心理特点而言，无论是将空间线面关系概念界定转化为空间线线关系定义，还是将空间无限的线线关系判断转化为空间有限的（三条）线线关系判断，都是学生所不熟悉和不易想到的. 因此，这两个方面既是本节课的重点也是教学的难点. 尤其是判定定理的表述形式与运用，定理中涉及一面、一点、三条线，以及线面、线线、点线、点面等诸多关系，哪些是已知关系哪些是未知关系，先讲什么后讲什么，以及几何教学具有的文字、图形、符号三种语言之间的转换互译，都要求和考验着教师作为课堂教学设计者、组织者和引导者的能力.

综上所述，掌握“直线与平面垂直的判定”这部分内容中涉及的概念、作图、判定等知识与技能，发展学生的空间观念，提高学生的观察能力和空间想象能力，以及数学图形、自然语言、符号语言的互译转化能力，实现从平面图形到立体图形的认知飞跃，发展学生的数学抽象、直观想象和数学建模等素养都至关重要.

2. 學情分析

在“空间中的线面平行”课题学习中，学生已初步形成了数学直观，积累了借助几何直观对空间图形整体把握及线面关系局部分析的经验，学生已具有一定的学习兴趣、参与意识，以及初步的直观想象、自主探究能力. 但对空间中的线面平行与垂直位置关系的认知和数学活动经验有限，学生的抽象概括能力、空间思维能力还有待提高. 尤其是对于线面垂直概念中“任一条直线”指的是“所有直线”，对于直线与平面垂直的判定定理中，为什么至少要两条直线，并且是两条相交直线等问题的理解仍存在诸多困难. 对于将无限转化为有限的可行性、必要性的认识也困难重重. 同时，部分学生对于教材中线面垂直判定定理的发现路径比较陌生. 此外，由于学生的直观想象能力、逻辑推理能力差次不齐，在运用直线与平面垂直判定定理解决问题时，如何选择平面内的两条相交直线去解决线面垂直问题，因为缺乏经验学生经常无从下手或容易发生错误.

三、“直线与平面垂直的判定”教学案例

以下教学设计与教学实录概述来自某省高中数学教师全员培训的网络课程“直线与平面垂直的判定”.

1. 教学设计概述

本节课教学目标设置如下.

（1）理解直线与平面垂直的概念及判定定理;能用直线与平面垂直的判定定理证明或解决一些简单问题.

（2）经历对相关现实情境和空间图形的观察，抽象概括出直线与平面垂直的概念，并通过操作、辨析，归纳出直线与平面垂直的判定定理. 在探索、发现新知的过程中，感悟数学思想方法，提高学生发现和提出问题的能力以及直观想象能力和逻辑推理能力.

（3）学生经历观察、探究、发现、证明的数学活动，发展团队合作和自主探究意识，体验探索发现的乐趣，增强数学学习的兴趣和信心.

教学重点：直线与平面垂直的概念与判定定理的概括.

教学难点：直线与平面垂直的概念判定与判定定理中无限直线转化为两条相交直线的可行性理解.

教学方法：问题链 + 学生核心活动.

2. 教学过程

（1）复习旧知，提炼要点.

问题1：我们已经研究过空间中直线与平面的哪些位置关系？直线与平面平行是怎么研究的？

【设计意图】通过回顾已学过的线面关系，巩固学生知识基础，让学生进一步领悟研究线面关系的思路方法.

明确以下两点：

① 线面平行的研究内容：概念—判定—性质—应用;

② 线面平行的研究方法：情境—抽象—概括—论证.

（2）从情境出发，发现问题.

问题2：空间中直线与平面的关系中，还有什么关系较为重要？

教师让学生举出生活中或空间几何体中的一些直线与平面垂直的例子.

【设计意图】通过直观感知、比较辨析，确定新的研究内容，并引导学生通过观察教材中广场上旗杆与地面之间的关系、教室里墙柱与天花板的关系等，发现直线与平面垂直的普遍现象，形成直线与平面垂直的实物表征，为进一步探究直线与平面垂直搭建认知支架.

（3）辨析探究，生成新知.

问题3：怎样画直线与平面垂直的直观图？

【设计意图】将画图问题前置，不仅是因为学生已具备作此图的能力，也为了便于深入研究线面垂直的内涵.

随后，教师拿一根教杆与桌面摆成垂直和斜交等情形，让学生观察、体会、领悟线面垂直的本质特征.

问题4：直线与平面垂直的本质特征是什么？能否尝试给出直线与平面垂直的定义？

【设计意图】根据实际例子丰富直线与平面垂直的初步形象，尝试通过文字叙述直线与平面垂直的定义.

定义：如果直线[l]与平面[α]内的______，我们说直线[l]与平面[α]互相垂直，记作______. 直线[l]叫做平面[α]的______，平面[α]叫做直线[l]的______. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点[P]叫做______.

由线面垂直的定义，可得若直线[l]垂直于平面[α]，则直线[l]垂直于____________.

简记：线面垂直，线线垂直.

符号：[______，______，]⇒______.

【设计意图】学生填写定义，建立文字、图形、符号这三种数学语言的相互转化. 这一定义揭示了线面垂直的本质，也就是直线与平面内的任一条直线都垂直. 这正是不能将后续的判定定理作为线面垂直定义的原因.

问题5：怎样才能简便判断直线与平面垂直？直线[l]垂直于平面[α]内的一条直线，那么直线[l]和平面[α]垂直吗？直线[l]垂直于平面[α]内的两条直线，那么直线[l]和平面[α]垂直吗？

核心活动：教师让学生拿出准备好的三角形纸片，动手操作. 过三角形的顶点[A]翻折纸片，得到折痕[AD]，如图1所示. 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（[BD，DC]与桌面接触），前后桌形成小组观察并讨论折痕[AD]与桌面是否垂直？

【设计意图】用定义判断线面垂直难以实现. 因而，寻找简便可行的判断方法就成为下一步要研究的内容，这正是思维冲突最为激烈的部分，故而设计了一个学生核心活动. 通过折纸实验与前后桌小组观察讨论，引领学生在观察中比较，在比较中发现，当且仅当折痕[AD]是[BC]边上的高时，且[B，D，C]不在同一直线上时，翻折之后竖起的折痕[AD]才与桌面形成垂直关系，如图2所示. 否则，不能使[AD]与桌面垂直. 根据这一直观操作，结合两条相交直线可以确定一个平面，感知和发现将直线与平面内所有直线都垂直的问题转化为直线与平面内两条相交直线垂直的问题的可能性.

学生经过操作，充分观察、思考与讨论后回答.

问题6：当折痕[AD]与[BD，CD]具有怎样关系时，折痕[AD]与桌面所在的平面垂直？此时[BD]与[CD]所在直線的位置关系是什么？与线面垂直概念的异同点是什么？

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

【设计意图】感悟线面垂直概念与判定定理之间将无限转化为有限的可行性，帮助学生理解判定定理的必要性.

简记：_____________________________.

特别注意：

① 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;

② 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想.

（4）应用新知，巩固强化.

练习1：判断下列命题的真假.

① 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直;

② 如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直.

练习2：一条直线和三角形的两边垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（    ）.

（A）平行 （B）垂直

（C）相交但不垂直 （D）不确定

【设计意图】通过练习题深化直线与平面垂直的定义和应用.

（5）拓展深化，发现新知.

在变化过程中，斜线与平面的位置关系给我们以怎样的形象？怎样定义直线与平面所成的角呢？

直线与平面所成的角：平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

（6）经典题例，解析讲评.

例1  判断：若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

无师生双方教学活动设计.

例2  有一根旗杆[AB]高8 m，它的顶端[A]挂有一条长10 m的绳子，另外还有一把卷尺. 根据这一条件，设计一个检验旗杆与地面是否垂直的方案.

操作：如图4，拉紧绳子并把它的下端固定在地面上的两点[C，D]处（和旗杆脚不在同一条直线上），如果这两点与旗杆脚[B]的距离都是6 m，那么旗杆就与地面垂直.

【设计意图】通过解决实际问题，让学生更深刻地理解直线与平面垂直的判定定理，加强定理的应用.

例3  如图5，三棱锥[P-ABC]中，已知[PA⊥]平面[ABC，BC⊥AC]，求证：[BC⊥平面PAC]. 追问：[BC⊥PC]吗？怎么得到的？

【设计意图】通过提供思路，让学生自主完成线面垂直的证明，让刚接触线面垂直的学生不至于不知如何入手，提高学生的兴趣. 例3所选的三棱锥模型，也是最常见、最基础的模型.

例4  长方体[ABCD-][A1B1C1D1]中，[AB=1]，[BC=3]，[AA1=2]，如图6所示. 对角线[A1C]与底面[ABCD]所成的角.

【设计意图】此题是在例3的基础上做的一点变式应用，目的在于让学生更熟练和踏实地掌握线面垂直的证明，定理的应用.

（6）回顾小结，提炼升华.

① 线面垂直的定义.（线面垂直，则线线垂直.）

② 线面垂直的判定定理.（线线垂直，线面垂直.）

③ 证明空间垂直问题的关键是线面垂直与线线垂直的相互转化.

④ 重要思想方法：化归的数学思想.

（7）作业布置.

具体内容略.

四、教学评析与思考

1. 教学实施及评析

从教学录像来看，教学时长50分钟，教师引领学生进行了线面垂直和线面角两个概念的界定，以及线面垂直判定定理的发现、探究和运用. 知识目标包括两个概念、一个定理;教学过程设计了七个环节，并且通过设计六個问题来衔接和展开. 在问题串的探究中，在概念建构环节，先个别提问2名学生关于现实世界中的线面垂直关系. 在判定定理发现探究环节，先由师生合作演示探究线面垂直关系. 后由学生动手操作翻折三角形，自主探究线面关系. 总体而言，共提问8人，讲解6道题目.

在实际教学过程中，教师注重通过使用教具（长方体模型、直尺、直角三角板、三角形、纸片、桌面、

黑板等）引领学生经历“直观感知—实验操作—观察比较—抽象概括”的探究与发现过程，借助教室的空间结构、教具模型、教材中的旗杆与地面等多个问题情境的观察比较与归纳猜想引领学生发现线面垂直所需的条件，进而抽象提炼为判定定理. 例如，在线面垂直的判定定理的探究中，先引导学生思考生活中有哪些线面垂直的例子，并观察和探究教师手中的直尺与黑板存在哪些位置关系，然后小组合作、操作实践，通过折纸实验使学生经历观察、探究、发现、证明等数学活动. 学生在目标明晰的问题驱动下实验操作，主动思考，观察探究，在现实情境中借助几何直观和空间想象感知线面位置关系的形态与变化，经历线面垂直关系的探究与发现过程，感悟实验、观察、比较、归纳、概括、转化，从特殊到一般、由具体到抽象等思想方法在分析和解决问题中的运用，经历再发现、再创造和解决问题的过程，从中发展归纳猜想和逻辑推理能力，培养比较辨析、发现创新的意识和精神，发展数学来源于实践并服务于实践的数学应用意识和价值观. 值得注意的是，教学中出现了“在变化过程中，斜线与平面的位置关系给我们以怎样的形象？怎样定义直线与平面所成的角呢？”的线面角概念建构与例4的应用，超出了本课题的内容和教学目标，增加了学生的学习负担. 另外，例题偏多，折射出传统教学急于求成、大运动量练习、在新授课中欲速而不达的强大惯性.

2. 思考与建议

（1）量体裁衣，准确界定教学目标.

教学始于目标的制定，终于目标的达成.《标准》对于本课题明确提出，通过直观感知、操作确认，归纳出线面平行、垂直的判定定理;能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 鉴于数学教学严谨与量力相结合的教学原则，本课题只要求学生通过直观感知抽象出线面垂直的概念，借助几何直观归纳出线面垂直的判定定理并能解决简单的问题. 为此建议教学目标围绕落实数学学科核心素养和“四基”“四能”，细化如下.

① 借助长方体模型，通过对旗杆和其影子的位置关系及对旗杆的平移实验与观察，使学生经历直线与平面垂直就是直线与平面上的任意（所有）直线都垂直的探究与发现过程，在直观认识和理解空间线面位置关系的基础上，抽象出空间直线与平面垂直的概念，发展建构数学概念的活动经验.

② 通过对实物模型的直观感知、操作确认，并经历将三角形纸片翻折后竖起放置在桌面的动手操作和观察比较、表达与交流等数学探究活动，感悟将空间无限的线线关系判断转化为空间有限的（三条）线线关系判断的必要性与可行性，发现和抽象出线面垂直判定定理;并能用图形语言、文字语言、符号语言准确表达线面垂直关系，提高学生的空间想象能力、合情推理能力和尺规作图能力.

③ 经历直观感知、操作确认、推理论证、合作交流的数学活动和数学研究过程，体会实验、观察、比较、归纳、概括、转化，从特殊到一般、由具体到抽象等数学思想方法在解决问题中的作用，积累在数学实验中进行数学发现的活动经验，并能用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，提升学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理素养.

（2）优化教学过程设计.

为达成以上目标，可以运用问题链、启发式、结构化的教学策略，改进教学设计，完善对线面垂直判定的探究.

首先，忆旧迎新，搭建认知的脚手架，形成数学整体观. 已经研究了线面的哪些关系？哪些概念界定？哪些判断方法？创设情境，激发认知需求，感悟数学的应用价值：如何检验学校操场上的旗杆是否与地面垂直？依据什么？引领学生观察辨析、直观感知，发展学生的直观想象素养，并引领学生进一步观察[110 m]跨栏视频中的栏框脚、简易木架等实物（如图7所示）的几何结构特点，尝试探究一条直线与一个平面垂直的定义，从中发展学生的数学抽象素养.

其次，设问启发，引领观察，探究猜想：类似于直线与平面平行的判定，当平面外一条直线垂直于平面内的一条直线，能判定这条直线垂直于该平面吗？借助几何直观、观察分析和层层递进的问题串，引发学生的认知需求，发展学生分析和解决问题的能力，感悟将无限转化为有限的可行性、必要性，发展学生的数学建模素养.

最后，动手操作，实验确认. 如图8，学生小组合作，运用准备好的（任意）三角形纸片，进行实验操作：过[△ABC]的顶点[A]翻折纸片，得到折痕[AD]，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（保持[BD，DC]在桌面内）. 观察和思考以下问题：折痕[AD]与桌面分别表征什么？如何翻折，线段[AD]与桌面所在的平面为垂直关系？如图9，假设折痕[A1D1⊥B1C1，] 翻折之后[A1D1⊥][C1D1，A1D1⊥B1D1，] 还成立吗？这对于问题解决有什么启示？

在折纸实验中，会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，通过小组合作和全班交流，辨析比较垂直与不垂直的原因，进而在比较中发现直线与平面垂直的条件，再应用多媒体演示翻折过程，引領学生再次观察和确认只要保证折痕[AD]是边[BC]上的高，即[AD⊥BC]，翻折后折痕[AD]就与桌面垂直，进而获得直线与平面垂直的判定方法，从而发展学生的直观想象素养和数学抽象能力.

接着，进一步设问启发，追问：如果一条直线与平面内两条直线垂直，则直线与平面垂直，成立吗？借助空间图形和几何直观，引领学生观察比较、举例证伪不合理猜想，通过正、反例对比，深化确认，比较辨析，进而获得和抽象出线面垂直的判定定理;感悟无限转化为有限、空间线面垂直转化为空间线线垂直、化未知为已知、化陌生为熟悉的数学转化思想，培养学生比较辨析、发现创新的意识和精神，感悟数学来源于实践并服务于实践的应用价值、科学价值和审美价值.

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收稿日期：2021-07-11

作者简介：陈静安（1961— ），女，教授，主要从事数学教育研究.