“几何画板”有效助力初中数学课堂深度教学

叶菊 凤斌

摘要：几何画板的恰当使用，有助于发现知识间的逻辑关联，有助于概念的理解、比较、记忆，有助于提高思维的严密性与变化性，可有效助力课堂深度教学。

关键词：几何画板  初中数学  深度教学

深度教学，才能促进学生的深度学习，而学生深度学习，是促进学生数学核心素养落地的有效途径。几何画板一直是一种使用普遍的教学工具，它可以让作图更精确，其拖拽、数据监控等功能，可以培养学生思考的连续性，便于学生在变化过程中发现图形性质的不变性，发现其规律。几何画板的这些工具性作用，可以一步步将学生的思维引向深处，助力数学课堂深度教学。

一、几何画板使用的误区

几何画板动态演示功能非常好用，但其展示的只是形态，不能代替数学推理过程。有的教师“不究其理”，只关注表象，把其当作“动画片”放映。学生知其然，不知其所以然。这样的课堂看起来热热闹闹、精彩纷呈，实则学生是云里雾里、不明就里。学生的思维得不到训练，能力得不到提升，数学学习浮于表面。这样使用几何画板，完全没有发挥其优势，是“低层次”的使用。

很多几何题目编写过程，教师是借助了几何画板进行演示，发现结论，然后再反推回去，命制题目。有的老师在讲解习题时，也借助几何画板的功能，先发现其中的规律，再带着这种已有的认知解决问题。这种方式看上去非常巧妙，但是学生考试时是没有几何画板作为辅助工具的。如何从已知和问题出发，找到解决问题的方法呢？这种做法，导致学生跟不上教师的解题思维，解题目标不明确，解题方法突兀，解决问题的过程不顺畅，难以学到解题的方法。这样使用几何画板，颠倒了学生的认知顺序，打乱了学生的思考逻辑，几何画板沦为了教师“变戏法”的工具。

二、几何画板助力课堂深度教学的途径

（一）几何画板有助于发现知识间的逻辑关联

深度教学需要教师关注知识间的逻辑关联，准确把握知识内核，着眼于学生的最近发展区，创设适合深度学习的教学环节。

“线段的长短比较”这一节的内容主要有四部分：用叠合法比较线段的长短、线段的和差、线段的中点、一个基本事实（两点之间的所有连线中线段最短）。有老师发出疑问：“线段的长短比较”只是本节课的一部分内容，为何用它作课题呢？产生这种想法，其实是他把这四部分内容割裂开理解了。如果深入理解教材，会发现这四部分内容是个有机的整体，借助几何画板，可揭示其中的逻辑关联。

本节课的第一部分内容是用叠合法比较线段的长短，因为学生生活中有比较身高、比较小木棍的长短之类的实践经验，这部分内容对学生而言，并不深奥，只需要关注比较的规范性和表达方式即可。这部分内容是本节课的中心，后面的内容都是围绕它展开的。利用几何画板画一条线段AB，另取一动点C。动点C在线段AB上，可以探究线段长短与和差关系，明确线段的中点;动点C在直线AB外，可以助学生理解两点之间线段最短这一基本事实。

由此可见，本节的后三部分内容均是由“线段的长短比较”延伸出来的。如果不使用几何画板，教师要用很多时间画一张张静态的图;用几何画板让点C运动，真正将线段和点置于平面内，不仅找到了知识间的逻辑关系，还展示了数学研究的一般方法，激活了学生的思维，拓展了学生思维的广度和深度。

另外，用几何画板监控线段的长度，当点C运动时，每条线段的长度立即呈现出来，可迅速判断线段长度之间的关系，让学生的思考过程不会被细枝末节打断、打乱，可以将注意力集中在要研究的有价值的问题上，让整个的探究过程更加顺畅、自然，为学生的深度学习提供了保障。

（二）几何画板有助于概念的理解、比较、记忆

数学概念学习重在理解和应用，而不是浅层次的文字记忆。多角度、立体化地认知，可以加深学生对概念的理解。

数学教学中有时会遇到一节课出现非常多的小概念的情况，这些概念的内容并不一定需要一字不漏地背诵下来，但是需要准确地理解，会辨析，善应用。例如“圆”这节课，有很多与圆相关的概念，如弧、半圓、优弧、劣弧、弦、直径、弓形等。这些概念的介绍，会消耗很多时间，且不利于概念间的比较和记忆，若能找到它们间的联系，就可达到事半功倍的效果。这时我们就可以利用几何画板，让圆上的点动起来，通过演示点的运动过程，把这些琐碎的概念“串”起来，不是以“知识点”，而是以“知识串”的形式出现，在概念形成的同时，进行了概念的比较和辨析，省时又高效。变化的图形这种活泼的形式还会加深学生记忆，让学生有构建知识体系的意识，促进了学生的深度思考。

（三）几何画板有助于提高思维的严密性与变化性

几何画板的使用让课堂上数学思维的训练更便捷，尤其体现在分类讨论的思维训练和变式教学的应用上。

分类讨论体现了数学思维的严密性，是中学数学非常重要的思想方法，也是初中数学教学的难点。一些没有图形或者只有部分图象的几何题，由于条件的不确定性，在画图过程中会出现多种情况。但如果图像画的不够准确，就可能出现漏解的情况。

例1 已知△ABC，∠C=90°，若AB=10，

（1）求△ABC的面积。

（2）添什么条件，可求出△ABC的面积？

对于问题（1），由于题中△ABC形状不确定，故面积也不确定。点C的轨迹有何规律？教师可以引导学生在思考的基础上用几何画板展示，然后通过拖拽改变三角形形状，从而发现满足条件的△ABC有无数个，点C在以AB为直径的圆上。这样可以让学生更深刻地理解本题。

对于问题（2），学生一般都是添加一边长，或是间接给出一边长。如果添加斜边上的高，可以吗？学生先画图感知，但学生画的图可能不够精确，会影响最后判断。此时，几何画板精确作图的优势就发挥出来了。

用几何画板进行变式教学，更容易让学生把握问题的本质，发现解决此类问题的共性通法，为学生的深度学习提供平台。

例2 已知：如图1，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE=OF，AE=CF，BE=DF。

分析：本题可通过证明△AEO≌△CFO得到。

为引导学生发现问题本质，可以利用几何画板演示EF旋转过程。学生会发现在旋转过程中结论仍然成立。（图3）

动图演示，让学生体会EF还可能出现的位置。点E、F可能分别在边AD和BC上，直线EF还可能与平行四边形边的延长线相交。

变式1：如图4，条件都不变，若点E、F分别在边AD、BC上，是否有相似的结论？

变式2：如图5、6，如果将EF向两端延长与平行四边形ABCD两对边的延长线分别相交，是否有相似的结论？

用几何画板演示EF旋转过程，学生的思维不会受某一种静态情况的禁锢，更容易发现变化过程中的不变性，找到解决这一类问题的共性通法。

几何画板的引入，让思维的过程可视化，探究的过程更有延续性，学生的思考过程更加完整，保障了探究式教学的流畅性，学生不断动手动脑、学思结合，思维能力得到了深度发展。

三、使用几何画板的注意事项

（一）思考在前，展示在后

深度教学需要让学生深度思考，几何画板是一种辅助工具，不能替代学生的思考过程，故要“滞后”使用，先给学生充分的探究、思考时间，再借助其进行验证、总结。

比如“圆的确定”这节课，先通过回顾，让学生明确，根据圆心和半径可以确定一个圆，再探究圆的确定的其他方法。

探究活动一：在平面内任取一点A，经过点A你能画几个圆？

探究活动二：在平面内任取两个点A、B，经过这两个点，你能画几个圆？

这两个探究活动，如果直接用几何画板展示，只需要2～3分钟就能解决，但是会毫无思维含量。所以，每个探究活动，都是让学生先思考，然后用圆规在草稿本上画图，再和同学交流。比如探究活动一，当学生发现过一点，可以画无数个圆后，教师再用几何画板展示画圆的过程：先确定圆心，圆心可以取除点A外的任意一点，圆心确定了，半径就随之确定了，因为圆心的位置有无数个，所以过点A的圆有无数个。探究活动二，在学生通过作图，发现过两点可以画无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上以后，教师再用几何画板展示、验证。

（二）恰如其分，谨防滥化

幾何画板虽优点多多，但只是优化课堂的手段，非必需品。教学也好，解题也罢，始终应该以学生为主体，以学生已有的知识储备、学习能力为基础，让新知自然生长，而不能被辅助工具牵着鼻子走。在一些合适的时机，恰当选用辅助工具，才能达到深度教学的效果。

深度学习属于高阶思维，几何画板可以将一些抽象的语言表达具体化地呈现出来，便于学生思考，教师使用几何画板时应该准确把握数学学科本质以及数学知识内核，淋漓尽致地发挥几何画板的优势，优化学习环境，在数学课堂上真正实现教师深度教学，学生深度学习。

参考文献：

[1]陈燕萍.用几何画板，教漂亮数学[J].中学数学参考，2021（17）.

[2]袁丽华.例析几何画板在初中数学教学可视化中的应用[J].安徽教育科研，2021（11）.

[3]杨静静.几何画板开展初中数学实验的教学研究[J].中小学电教，2021（4）.

[4]郦兴江.数学思维异构让深度教学真正发生[J].中学数学教学参考（中旬），2020（3）.

责任编辑：黄大灿