受迫振动非线性特性的教学拓展

丁红胜，王佳曦，张师平，董军军

(1. 北京科技大学 数理学院应用物理系，北京 100083；2. 北京科技大学 自然科学基础实验中心，北京 100083)

振动是一种普遍存在于客观世界的物质运动形式，系统在周期性外力的持续作用下的振动即为受迫振动[1]．波耳共振仪是高校物理实验教学中研究受迫振动运动规律较为普遍的仪器，也是学者探讨较多的实验项目[2-4]．实验测量中，仪器的轴承摩擦和弹簧非线性效应的影响是造成实验数据偏离预期的主要因素．如果在受迫振动的分析中考虑这两种因素的影响，则非常有助于学生理解实验原理和结果偏差．本文基于受迫振动常规实验，延伸探讨其非线性特性，通过Matlab数值分析的方法来研究杜芬方程的混沌特性，以此提高学生对受迫振动的认知，并加深对其非线性特性的理解．

1 受迫振动

1.1 受迫振动方程

波耳共振仪[5](如图1所示)的摆轮可在弹性力矩作用下自由摆动，若同时加上阻尼力矩和驱动力矩，摆轮可做受迫振动．

1. 光电门A；2. 长凹槽；3. 短凹槽；4. 铜制摆轮；5. 摇杆； 6. 蜗卷弹簧；7. 机架；8. 阻尼线圈；9. 连杆；10. 摇杆调节螺丝； 11. 光电门B；12. 角度盘；13. 有机玻璃转盘；14. 底座； 15. 弹簧夹持螺丝；16闪光灯图1 波耳共振仪的结构示意图[5]

(1)

式中，J为摆轮的转动惯量，-kθ为弹性力矩，k为弹簧的劲度系数，M0为驱动力矩的幅值，ω为驱动力的角频率．

(2)

当mcosωt=0时，即在无周期性外力矩作用时，式(2)为阻尼振动方程；当阻尼系数为零，即无阻尼时，式(2)为简谐振动方程，ω0即为振动系统的固有频率．