关于一维量子散射中一些问题的简单说明

应文祥，彭凯玥，曹 龙

(中国科学技术大学 化学物理系，安徽 合肥 230026)

一维方势垒穿透是本科量子力学课程的一个重要内容.大多数教材采用求解定态薛定谔方程的方法[1-4].它本质是个一维定态散射问题(如无特殊说明，本文均指定态弹性散射)，我们也可以求解一维Lippmann-Schwinger方程——这是一种更普适的方法，理论上可以程序化解决任意形状势垒的一维散射问题.早在2001年，陆晓[5]就补充了这种思路，并通过迭代求出了反射、透射概率幅，但是其过程的数学存在瑕疵.王琴惠[6]在2004年给出的求解过程数学上没有问题，但透射、反射系数项中仍含有ψ(x)，须通过代入试探解来求解实际问题.

鉴于前人对一维散射问题处理方法的一些理解误区，本文给出了较为清晰的数学推导和说明.简单讨论了迭代法求解一维Lippmann-Schwinger方程的手续，指出前人的错误.

1 一维散射问题常见处理手法的简单讨论

一维散射问题的定态薛定谔方程为

(1)

最常规的思路就是直接求解一维定态薛定谔方程.参考文献[1]中列举了很多种一维可解势——对于这类势函数，可以解析求解.但局限性是，这不是一种通用的方法.对复杂的势函数V(x) 很难解析求解薛定谔方程.例如一维有限深方势阱[2]，薛定谔方程为超越方程，无法写出解的显示表达式.

第二种思路仍然是处理微分方程，但略有差异.对薛定谔方程做变量代换：

(2)

则薛定谔方程形式简化为

(3)

可以发现这是个二阶变系数齐次线性方程，并且属于下面……