基于偏最小二乘法分形计盒维数的冲击定位方法

陈思博，潘晓文，刘金福

(1. 福建农林大学 计算机与信息学院，福州 350002; 2. 生态与资源统计福建省高校重点实验室，福州 350002)

复合材料在制造、使用和维护的过程中不可避免的会受到意外物体地低速冲击，造成基体结构的横向裂纹和分层损伤。与高速冲击的穿透损伤相比，低速冲击对结构承载能力的影响更严重。因此人们更加重视能否及时准确判断出低速冲击位置，评估可能造成的损伤情况[1-3]。

目前常用冲击载荷定位技术中，深度学习的方法需要事先采集大量样本数据。由于实际机械结构形式具有离散性与复杂性，大量先验数据的采集不仅耗时，还易造成结构先期损伤，这使得该方法在工程上具有局限性；而时差定位法无需先验知识，只需提取冲击应力波到达的时差时间即可反推出冲击位置，此类方法一般采用压电传感系统，该系统在数据采集与传输过程易受到电磁干扰，且压电监测阵列需要大量传输线缆，需要解决大量传感器带来的引线数目多和占用监测系统通道多的问题[4]，同时系统体积重量大、功耗高，使得其在航空航天领域地应用受到一定限制。

光纤传感器具有芯径细、柔韧性好、抗电磁干扰、灵敏度高、适合长期监测等优点。Chuang等[5-6]将光纤布拉格光栅(Fiber Bragg Grating，FBG)应用于柔性悬臂梁的应变和位移动态监测。Lee等[7]将FBG应用于碳纤维增强复合材料(Carbon Fibre-Reinforced Polymer，CFRP)材料的板结构冲击监测，认为与传统压电陶瓷(Piezoelectric Ceramic，PZT)传感器进行对比，FBG传感器更适合用于冲击检测。陆观等[8]也开展了基于相似度比较的FBG低速冲击监测研究。由于时差冲击载荷定位方法需要信号采集系统具有较高采样频率，因此该方法并不适用于采样频率较低的FBG解调系统。

在数据样本有限的情况下，使用FBG为传感器进行冲击载荷定位，需要人工提取信号特征，建立特征与冲击载荷定位的模型，并以此模型用于监测冲击载荷定位。曾捷等[9]将信号峰值幅度和基于小波包分解的能量谱为信号特征对冲击载荷进行定位，小波包分解的能量谱作为冲击响应特征，识别冲击位置，该方法需要大量的样本数据，且试验条件可迁移性差。但分形维数与冲击载荷位置有较好的相关性，对先验知识无需过多要求，熊稚莉等[10]将冲击响应信号关联维数作为冲击特征量，对冲击载荷位置进行辨识，但是，分形维数与冲击载荷位置之间的线性度以及重复性差。为此，本文提出基于偏最小二乘法提高分形维数的冲击载荷定位精度的方法。

1 冲击响应频谱特征分析

1.1 冲击监测试验系统

FBG传感器通过将光栅写入纤芯制作而成。当一束宽带光注入光纤时，光栅反射特定波长的光。该波长满足光纤Bragg 反射条件。光纤光栅所受轴向应变和温度可引起影响FBG栅距变化以及弹光效应，使得FBG 反射光中心波长发生偏移。反射光中心波长与光栅所受的轴向应变与温度变化呈线性关系

ΔλB/λB=kεΔε+kTΔT

(1)

式中：λB为FBG中心波长； ΔλB为光纤光栅反射中心波长偏移量； Δε为应变变化量；kε为光纤光栅应变灵敏度；kT为光纤光栅温度灵敏度； ΔT为温度变化量。

计算机、光纤光栅解调仪、FBG以及连接光纤组成变测试系统，用于测量四周固支板结构冲击响应。其中FBG传感器由光纤跳线接入MOI公司光纤光栅解调仪(采样频率1 kHz)，系统实物如图1所示。解调仪不仅能解调出各个FBG反射光中心波长，还能与PC机之间通过局域网相连，可将各个FBG反射光中心波长数据传入计算机进行显示并转换为应变数据，解调仪组成如图2所示。宽带光源将白光注入FBG；各个FBG反射光通过耦合器导入光谱仪，并识别FBG 反射光中心波长；网卡与PC机之间建立局域网，实现两者通信。计算机机上软件识别冲击载荷位置。

图1 光纤光栅应变测量系统实物图Fig.1 Physical chart of fiber Bragg grating strain measurement system

图2 光纤光栅应变测量系统Fig.2 Fiber Bragg grating strain measurement system

板结构冲击引起被测位置的振动，使得FBG栅距变化以及弹光效应，引起FBG 中心波长的偏移，从而测得被测位置应变信号。由于冲击响应时间短，因此温度变化可以忽略。

为了避免重复冲击造成复合材料板损伤而影响试验结果，试件首先选择尺寸为1.2 m×1.2 m的四边固支铝合金板作为研究对象。监测区域为一个以铝合金板正中心点为中心，长宽各为30 cm的正方形。传感器布置以及坐标系定义如图3所示。图3中监测区域四周布置四支FBG，长方形实心方块为FBG，其长边为FBG轴向方向，所有FBG轴向平行于x轴。

图3 光纤光栅传感器布局Fig.3 Layout of fiber Bragg grating sensors

对试件的待监测区域进行均匀单元网格划分，网格间距5 cm×5 cm，共计49个样本点。FBG3处设置为坐标原点。使用冲击锤对各单元网格结点依次进行冲击，分别记录每次加载时四支FBG的冲击响应信号，以便于后续处理。

1.2 冲击距离对频谱特征的影响

低速冲击应力波在二维弹性材料上传播除了有衰减现象还有弥散现象。衰减现象是指在冲击过程中，应力值会随着应力波传播方向而逐渐递减[11]。弥散现象是指应力波在传播过程中不能保持初始波形，各谐波分量以各自的相速传播，造成波形扩散，即波形逐渐拉长变平，波形出现高频震荡的现象[12-13]。随着传播距离的增加，这种波形拉长变平的现象将会更明显。因为传播质点的横向惯性效应引起不同频率的应力波传播速度不同所致。王从约等[14]结合傅里叶波谱分析，对有限长圆杆中弹性波的弥散进行较全面地研究。由于存在衰减与弥散现象，导致在冲击点附近的所测得信号频谱与远离冲击点处所测量的信号频谱不相似。图4为1 J能量在原点处(FBG3所处位置)冲击时，FBG1，FBG2，FBG3，FBG4振动信号频谱。FBG3振动响应信号频谱与远离冲击点FBG1，FBG2与FBG4振动信号频谱不相似，主要体现在小于200 Hz低频成分，冲击点处振动信号低频成分丰富。与冲击点的振动信号相比较，其它传感器的振动信号低频成分衰减较大。因此，振动信号频谱曲线的形状能表现传感器位置与冲击点之间的关系，本文拟采用分形计盒维数刻画振动信号频谱曲线，研究频谱曲线分形计盒维数与冲击载荷位置的关系，并用于识别冲击载荷位置。

图4 在原点处冲击时FBG1～FBG4信号频谱Fig.4 Frequency spectrum of FBG1-FBG4 signal when impacting at origin

2 基于频谱分形维数的冲击载荷判位方法

分形理论区别于传统欧氏几何的主要观点是对于不规则的、复杂的几何图形，其维数是分数[15]。通过分形维数在状态空间中来定量描述、刻画非线性系统行为的复杂性，并以此度量信号的不规则度[16]。计算分形维数的方法主要有Hausdoff维数、计盒维数等。本文提出将分形计盒维数用作描述FBG振动信号频谱变化的特征指标，为冲击载荷定位提供依据。

2.1 分形计盒维数定义与计算

振动信号频谱曲线S∈R2分形的计盒维数，需将频谱图形S放在一个均匀分割的网格上，每个网格(盒子)边长为l，频谱曲线S分形计盒维数e计算如式(2)所示

(2)

式中，N(l)为覆盖频谱曲线S所需最少的尺度不超过l的“盒子”(网格)的个数。

分形计盒维数计算步骤是： ①将频谱曲线归一化到单位正方形区域内，得到归一化频谱曲线S； ②以ln=nδ为边长，对单位正方形区域划分网格,n为网格放大倍数,n=1,2,3…，δ为谱线之间的间隔； ③计算不同n情况下，logN(ln)和log(1/ln)的系列值； ④以logN(ln)为纵坐标，log(1/ln)为横坐标，使用直线拟合这些点，直线斜率即为计盒维数e。

2.2 冲击信号频谱分形计盒维数与冲击位置关系

对信号的频谱分析工具有傅里叶变换(Fast Fourier Transformation，FFT)、离散余弦变换(Discrete Cosine Transform，DCT)等。以FBG3为例，分别使用FFT与DCT变换计算信号频谱，其频谱分形计盒维数与冲击位置之间关系如图5所示。图5中每条曲线代表在图1坐标系情况下，在y坐标为一常数(x=0，5 cm，10 cm，15 cm，…，30 cm，共7个点)一系列网格点上冲击，FBG3信号的频谱分形计盒维数。从图5中可得：①信号频谱分形计盒维数随冲击载荷与传感器距离增大而增大； ②信号频谱分形计盒维数对沿着光纤光栅轴向位置(x轴)更为敏感，即在x方向上变化大；而对垂直于光纤光栅轴向位置(y轴)上变化不大； ③基于DCT的分形计盒维数与冲击点x坐标较FFT有较好的线性度。

2.3 偏最小二乘回归法对冲击点位置识别

由于信号频谱分形计盒维数与冲击点位置坐标之间的重复性、线性度较差，不能直接使用线性回归建模和用于定位。因此，要采用多传感器数据融合的方法提高定位精度。常用的方法有：主成分分析法、聚类分析法、最小二乘及其扩展算法、人工神经网络等。偏最小二乘回归法(Partial Least Squares Regression, PLSR)借助主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)实现多传感器数据降维，同时结合多元线性回归(Multiple Linear Regression, MLR)和典型相关性分析方法(Canonical Correlation Analysis, CCA)，可以有效地提取对冲击位置解释性最强的综合信息。

图5 FBG3信号频谱分形计盒维数与冲击点位置关系Fig.5 The relationship between fractal box dimension of frequency spectrum of FBG3 signal and the position of impact point

尹力等[17]使用该方法对铣削刀具的磨损状态进行了建模和预测的分析。史永胜等[18]提出了一种小样本条件下考虑发动机众多因素对EGT影响的发动机性能短期预测模型。本文使用Matlab软件提供的Plsregress函数对传感器信号频谱分形维数进行建模并识别冲击载荷位置。

在试件监测区域内(x∈[0,30] cm,y∈[0,30] cm)，冲击锤使用1 J量在网格(5 cm×5 cm)点上依次冲击；记录每次冲击时的四支FBG信号，对测信号进行DCT变换，并计算分形计盒维数；然后将分形计盒维数以及冲击点坐标加入样本集中(总样本数量为49)。从样本集中随机抽取部分数据用于PLSR建模，其余数据用于测试。当建模样本数量为30时，所建立的PLSR模型，在测试样本集(19个样本)上，识别冲击点x坐标的平均误差2.43 cm，最大误差6.06 cm，回归方程为

Ux=6.705 2-8.485 3e1+0.924 9e2+
9.255 5e3-3.632 8e4

(3)

式中：e1，e2，e3，e4分别为FBG1，FBG2，FBG3，FBG4四支传感器信号DCT频谱分形计盒维数；Ux为冲击点x坐标。

观察式(3)中的回归系数。可以发现处于对角线的FBG1与FBG3两个传感器，其分形计盒维数e1与e3在解释冲击位置中起着重要作用。由于监测区域是对称结构，因此可以考虑使用任意两个处于对角线上的传感器数据建模。本文采用e1与e3建模，建模样本数量仍然为30，在测试样本集(19个样本)上识别冲击点x坐标的平均误差2.35 cm，最大误差7.01 cm。该方案较四支传感器布局，误差略大，但是节省一半传感器数量。由于y方向分形维数变化相对较小，因此无法进行y方向定位。

2.4 建模样本数量对识别精度的影响

建模样本从样本集合中随机抽取。表1体现了不同建模样本数，模型的单个方向识别精度。增加样本数量有利于提高建模精度，在样本数量超过10时，样本数量对建模精度提升作用不大。采用FFT的分形维数建模精度较DCT低，因此本文采用DCT作为频谱分析工具，使用12个样本建模，单个方向的识别平均误差为2.64 cm。

表1 建模样本数量对识别精度的影响

2.5 载荷大小对识别精度的影响

在FBG3周边网格(x∈[-15,15] cm,y∈[-15,15] cm，包括非监测区)上，使用冲击锤，分别以1 J冲击两次和2 J能量冲击一次，并记录相关数据作为测试集。其中，沿着y=0，x∈[-15,15] cm的网格点上冲击，FBG3频谱计盒分形维数如图6所示。两次1 J冲击试验结果显示其数据的重复性和线性度不佳；1 J冲击试验数据与2 J冲击试验数据基本重合。使用表1中的 3号(12个样本)的数据所建立的模型，对本次试验中在监测区域(x∈[0,15] cm,y∈[0,15] cm)中的数据进行识别，对1 J数据的识别均方根误差2.62 cm，最大误差为4.34 cm；对2 J数据的识别均方根误差2.14 cm，最大误差为5.26 cm。因此，可以认为载荷大小对冲击位置识别精度无影响。对监测区域外识别精度较差，这是因为冲击超出FBG1监测距离(30 cm)，其分形维数在1.78左右基本保持不变。

2.6 传感器优化布局

根据2.2节分析FBG单个方向布置只能识别载荷在其轴线方向上的坐标，即x方向坐标，且每个方向只需在监测区域对角线上布置两个FBG。因此，与x方向判位原理类似，只需在图3传感器布局中，将FBG2，FBG4布置为轴向平行于y轴方向的光纤光栅光感器，即可实现对冲击载荷x，y方向坐标的同步识别。将此布局应用于环氧树脂板结构冲击载荷位置如图7所示。

图6 不同能量冲击FBG3信号频谱分形计盒维数Fig.6 Fractal box dimension of frequency spectrum of FBG3 signal impacted by different energy

图7 环氧树脂板传感器布局与冲击监测结果Fig.7 Sensors layout and impact monitoring results on epoxy resin board

2.7 环氧树脂板冲击定位识别

将试验系统的铝合金板替换为环氧树脂板，在监测区域内随机选择12个位置使用冲击锤1 J能量冲击，将其数据作为样本用于PLSR建模。在监测区域内，随机冲击三次，双方向识别结果如图7所示。冲击载荷1～3，识别距离误差分别为4.90 cm，4.74 cm，8.91 cm，误差较均质铝合金板大。试验分析与环氧树脂板质量有关，部分数据与周边数据存在突变，降低建模精度。

3 结 论

本文提出了一种基于分形计盒维数的板结构分布式光纤冲击载荷定位方法。采用频谱分形维数作为冲击响应特征参数，实现冲击载荷在沿光纤光栅传感器轴向方向的位置信息识别。由于板结构冲击应力波除了有衰减、弥散效应，还有边界以及损伤区域的多次反射现象，冲击响应复杂。因此，分形计盒维数与坐标之间的线性度较差，需要使用多传感器数据融合方法提高预测精度。本文采用PLSR建模具有以下优点：

(1) 载荷大小对建模精度无影响，且建模所需要的样本数量较少，可以避免建模过程对复合材料造成损伤。

(2) 试验数据重复性和线性度较差，但是使用PLSR建立的模型具有鲁棒性。

(3) 可以根据建模的回归方程推断出传感器的优化布局，使得本文所需的传感器数量少于相关文献。

对环氧树脂板进行监测有较大误差，根据文献[16]是板结构损伤造成的，因此可进一步研究频谱分形维数作为复合材料的损伤特征。