消能伸臂体系减震性能的参数变异性影响分析

刘良坤，潘兆东，谭 平，张尚荣

(1. 东莞理工学院 生态环境与建筑工程学院，广东 东莞 523808；2. 广州大学 工程抗震研究中心，广州 510405； 3. 宁夏大学 土木与水利工程学院，银川 750021)

近年来，高层、超高层建筑在世界各地发展迅速，如何确保其在外激励下的振动响应处于安全范围内就显得尤为重要[1-2]。在众多高层建筑结构中，伸臂结构体系因其良好的抗侧移性能得到了较多的关注[3-5]。起初，研究人员在模型简化分析、伸臂位置优化及振动特性研究方面具有较大的兴趣[6-11]。然而，仅通过设置常规伸臂(加强层)来提高结构体系的整体刚度、减少侧移，可能引起结构刚度的突变，导致内力过大。为缓解这个问题，Willford等[12]提出了一种新型消能伸臂减震体系，该体系预先断开伸臂与外柱连接，并将阻尼器安装于两者之间，以达到耗能减震的目的。随后，Wang等[13-14]又提出了半主动伸臂控制体系，并取得了较好的控制效果；Asai等[15]则进一步对这类智能伸臂体系进行了试验论证。不过，上述伸臂结构体系分析过程中忽略了外柱刚度的影响；实际上，这种外柱为无穷大的假定是不合理的，可能导致错误的结果[16-17]。

尽管消能伸臂体系具有良好的减震性能，但在构件制造、测量、安装等过程中难免出现不确定因素，而且由这些不确定性带来的参数变异将对其减震性能产生重大影响。因此，参数变异性的影响分析有其必要性。考虑参数变异的随机动力系统响应分析常可采用蒙特卡罗法，但其计算量过大的问题仍难以解决；而摄动法又容易出现久期项问题[18]；为此，李杰[19-20]提出了正交次序分解方法，这一方法被Ge等[21]应用到考虑参数变异的相邻结构系统中，不过该方法仍面临维数的组合爆炸问题；近年来的概率密度演化方法[22-23]具有较严格的数学推导，也得到了认可，但计算仍较复杂。鉴此，为提高计算效率并保证精度，本文采用Gauss-Hermite积分的降维算法[24-26]来研究参数变异特征对消能伸臂体系减震性能的影响。

1 动力分析模型

当只考虑水平荷载作用时，可将消能伸臂体系简化为二维模型，如图1(a)所示。该体系主要由外柱，阻尼器，伸臂及核心筒构成，其中核心筒简化为悬臂梁[27]。由于外柱的影响不可忽略，将其视为竖向弹簧具有一定的合理性；当与伸臂阻尼器组合后，形成藕联的弹簧-阻尼器模型，如图1(b)所示(图中圆点表示构件连接点)。由于伸臂刚度较大，分析时可假定为无穷刚度，最终消能伸臂体系可等效成具有抗转藕联弹簧的悬臂梁体系，如图2所示。

图1 消能伸臂体系简化模型Fig.1 The simplified model of the damped outrigger system

图1中：EI为核心筒的弯曲刚度，计算时假定为常数；H为结构总高；r为伸臂外端到核心筒中心距离；α1H,α2H,…,αsH分别为各伸臂距地面的高度，其中s为伸臂数目；由于外柱被视为弹簧，各段竖向刚度为ke1=EcAc/(α1H),kej=EcAc/(αj-αj-1)/H,j=2,3,…,s，其中EcAc为外柱的截面刚度，计算时由假定的外柱刚度比β=EI/(2EcAcr2)确定；ue1,ue2,…,ues为外柱与阻尼器连接点的竖向位移；u1,u2,…,us为阻尼器与伸臂连接点处的竖向位移；cdj为与第j个伸臂连接的阻尼器的阻尼系数，相应的阻尼力为fdj。计算时假定所有质量均匀分布于核心筒，且不考虑伸臂与外柱的质量。

图2 等效模型Fig.2 Equivalent model

2 消能伸臂体系的地震响应分析

2.1 消能伸臂体系核心筒有限元模型分析

消能伸臂体系的核心筒相当于一悬臂梁，由于其高度远大于其宽度，那么利用欧拉梁分析是合理的，取第j个梁单元如图3所示。

图3 梁单元jFig.3 The jth beam element

该单元节点位移向量表示为

xe=[uj1,θj1,uj2,θj2]T

(1)

假定核心筒梁单元长度L=H/n，其中n为单元数，弯曲刚度EI为常数，相应的单元质量矩阵和单元刚度矩阵分别表示为

(2)

(3)

式中：m为单位长度质量；组装各单元矩阵得到核心筒的总质量矩阵M和总刚度矩阵K，消除固定端部分，维数为2n×2n。

若已知单元阻尼矩阵，可按上述方法进行组装得总阻尼矩阵，也可用Rayleigh阻尼矩阵进行构造

C=a0M+a1K

(4)

C=(φT)-1C*φ-1

(5)

式中： 上角标“T”为转置；C*为由各振型阻尼系数Cj=2Mjωjξj,j=1,2,…,nω构成的对角矩阵，Cj为第j振型阻尼系数，Mj为第j振型质量，ξj为第j振型阻尼比，nω为振型阶数。本文按式(5)的构造方法计算，并假定各阶振型对应的阻尼比相同。

当消能伸臂体系受到地震激励时，核心筒的惯性力表现为分布荷载形式，在单元j上的等效节点荷载表示为

(6)

将其组装后得到的总地震荷载向量为Fg。无伸臂时，核心筒的振动方程为

(7)

式中，x为由xe合成的2n×1的总位移响应列向量。

2.2 外柱与伸臂阻尼器藕联模型分析

消能伸臂体系通过外柱与伸臂连接的阻尼器进行耗能减震，因此外柱与伸臂的藕联起着重要作用。

伸臂对相应梁单元j的作用力相当于外力偶作用，如图4所示。那么第j单元等效节点力为

(8)

图4 力偶的等效节点力Fig.4 The equivalent nodal force of a couple

对于无伸臂的单元，其单元等效节点力均为0。方便而言，将伸臂设置于核心筒单元j右端节点上(如梁单元j对应的右端)，此时l1=L，l2=0即

Fθj=[0 0 0Mθj]T

(9)

式中，Mθj为伸臂对核心筒的等效外力偶作用，即伸臂的抵抗弯矩，组装后得到总外力偶等效荷载向量

(10)

式中：n1,n2,…,ns为与伸臂连接的单元序号；Γθ为伸臂安装的位置矩阵，表示如下

(11)

式中： 矩阵中“1”为连接伸臂的梁单元右端所对应系数为1。此时，Mθ表示为

Mθ=-2fdr

(12)

将式(12)代入式(10)得

Fd=-2Γθfdr

(13)

根据图1(b)的外柱与阻尼器藕联模型，容易得到力平衡方程

(14)

(15)

(16)

对于核心筒，考虑伸臂作用的振动方程为

(17)

将式(13)代入式(17)为

(18)

那么式(16)和式(18)为消能伸臂体系在地震激励下的振动方程，由于该方程利用一般的逐步积分法较难求解，需采用改进的Newmark-β(逐步积分法进行计算[30]。考虑到该方法计算过程复杂，本文建议采用状态空间法进行求解。由于外柱与阻尼器的平衡方程式(16)无质量相关项，为防止状态方程的相关矩阵出现奇异性，选取合适的状态变量十分关键，现取状态量为

(19)

那么由式(16)和式(18)构成的状态方程可表示为

(20)

3 考虑参数变异的结构响应降维算法

随机结构的响应统计量计算实际上就是多变量函数的统计量估计过程，虽然有很多方法可以直接求解随机动力系统，但在满足精度前提下提高计算效率宜进行降维计算。

(21)

式中：n为阶数；yj为积分节点；f(yj)为相应的函数值；Wj为积分权系数； 通常取前几阶即可。将式(21)变形得

(22)

(23)

(24)

注意式(24)仅为考虑单随机变量的随机系统响应。对于具有p维随机变量Θ=(Θ1,Θ2,…,Θp)的系统，其随机动力系统响应或响应的状态量为

(25)

假定各随机变量相互独立，联合概率密度函数为

(26)

此时使用Gauss-Hermite积分形式，随机动力系统响应为

(27)

式中：p为维数；q为积分点数；Wij为第i个随机变量的第j个积分点对应的权重系数；Θij为第i个随机参数变量对应的第j个积分点变量值。实际式(27)即是随机系统的均值响应，可见式(27)计算量与正交次序分解法大致相同，但形式更加简洁。该方法的总计算量与所取积分点和维数有关，总计算量为qp，因此，该方法的计算量仍然较大。

将上式其表示成一般形式有

(28)

(29)

其中式(28)与式(27)都为随机系统的响应或状态的均值；式(29)为随机动力系统的响应或状态的l阶中心矩，通常二阶中心矩(方差)关注较多，此时取l=2即可。

为提高随机动力系统的响应计算效率，可根据Rahman等多维函数的降维处理思想，将具有多个随机变量参数的随机系统响应函数分解成含有单个随机变量的响应函数组合，那么随机系统的响应均值为

(30)

式中：gi(t)为除了第i维随机变量外其余随机变量取均值时所得的随机系统响应均值，相当于只考虑一维随机变量，计算过程同式(24)；g(t|μ1,μ2,…,μp)为所有随机变量取均值的系统响应值，此时相当于确定性系统，总计算量为pq+1。方差则按式(31)计算

(31)

4 减震性能的变异性性影响分析

某消能伸臂体系总高H=210 m，具有3道伸臂，伸臂长度r=12 m，伸臂位置分别为α1=1/3,α2=2/3,α3=1； 核心筒刚度及质量参数均值分别为：EI=2.16×1013N·m2，m=1.2×105kg/m； 外柱刚度比β=0.8，此时外柱截面刚度均值为EcAc=9.38×1010N； 伸臂阻尼器系数均值取较优值cd=1.0×108N·s/m。由于消能伸臂体系核心筒的阻尼较小(计算时取各阶阻尼比ξi=0.02)，即使考虑变异性，其影响也较小，为减少分析参数，分析时不考虑该项变异，那么重点关注的变异参数有核心筒线质量m，核心筒弯曲度EI，伸臂阻尼器的阻尼系数cd以及外柱的截面刚度EcAc。需要注意的是，起对比作用的传统伸臂体系(外柱与伸臂直接相连)并不包含阻尼器变异项。分析时，假定以上参数服从正态分布，简便而言，仅取变异系数均为0.1，0.2及0.3的三种情况进行对比分析。

4.1 确定性激励

分别取El Centro南北分量和Kobe地震记录作为确定性激励，峰值调整为0.3g。以蒙特卡罗方法计算一万次的结果为基准，验证本文方法的正确性。做出与本文方法的数据对比图，如图5所示(篇幅所限仅给出参数变异系数为0.1时的El Centro地震激励下的顶层位移响应)。图5中，MCM01表示蒙特卡罗法计算值，GHPM01表示Gauss-Hermite降维算法计算值，且计算时取5个积分点。分析图5的蒙特卡罗法与Gauss-Hermite降维算法的计算结果可知，无论是从均值角度还是方差角度看，两种的计算数值曲线几乎重合，这也就说明Gauss-Hermite降维法的计算结果合理。

针对参数变异对消能伸臂体系减震性能的影响，图6与图7给出了确定激励时的楼层响应对比图。其中，图6为位移响应，图7为绝对加速度响应，Uncontrol为传统伸臂系，Control为消能伸臂体系，后缀数值01为变异系数为0.1的情况，其余含义以此类推。总体来看，不管是楼层位移还是楼层绝对加速度响应，与传统伸臂体系相比，消能伸臂体系具有较小的均值，这说明即使考虑参数变异，后者仍可取得良好的减震效果；此外，在标准差上，消能伸臂体系的响应数值也较小，可见，消能伸臂体系在安装消能装置(阻尼器)后，响应离散性更小，对结构参数变异具有更好的鲁棒性。

图5 确定性激励的结果对比(El Centro)Fig.5 The results comparison under the determined exercitation (El Centro)

图6 楼层位移响应对比Fig.6 The displacement comparison for each floor

进一步观察变异性对消能伸臂体系与传统伸臂体系响应均值与标准差的影响。从楼层响应均值上看(见图6(a)、图6(c)及图7(a)、图7(c))，变异系数由0.1～0.3变化时，这两种伸臂体系的响应均值上并无统一的规律：有些楼层变异系数较小时均值更大，而在其余楼层却刚好相反。从响应的标准差来看(见图6(b)与图6(d)及图7(b)与图7(d))，消能伸臂体系与抗震伸臂体系在数值上有着相同的规律：响应标准差均随着变异系数增大而增大，只是对于前者来说，其标准差数值比后者小。

图7 楼层绝对加速度响应对比Fig.7 The absolute acceleration comparison for each floor

4.2 演变随机激励

与确定性激励相比，演变随机激励更能够反映出结构响应的统计量信息。取演变随机地震激励为1964年日本新泻中越大地震(Niigata earthquake)的演变随机地震谱，具体表达及数值[32]为

(32)

(33)

其中，

a1=0.25 s-1，a2=0.5 s-1，
S0=4.65×10-4m2/rad·s3，

(34)

(35)

图5对比了确定性激励的两种方法计算结果，图8则给出了消能伸臂体系在演变随机激励下的计算结果。由图8可知，尽管考虑了演变随机地震激励(此时为复合随机情况，包含了结构参数随机性)，但两种方法计算的顶层位移均方差与绝对加速度均方差的变化曲线几乎重合，这说明了在随机激励的情况下，Gausss-Hermite降维算法计算的结果合理且具有良好的精度。因此，该算法适合用于消能伸臂随机结构体系的计算分析。

图8 随机激励的结果对比Fig.8 The results comparison under random exercitation

图9给出了复合随机下参数变异性对顶层响应的影响。整体来看，消能伸臂体系的位移均方差与绝对加速度均方差最大值均远小于传统伸臂的响应数值。位移与加速度响应上，分别在5 s，10 s后前者的减震效果逐渐显现，且经过前期的耗能，约20 s消能伸臂体系就已趋于一个较低值，而此时的传统伸臂体系响应均方差数值仍较大。这些现象再次说明即便考虑结构参数的随机性，消能伸臂体系的良好减震性能仍可得到保证。进一步观察图9(a)与图9(b)，对比无变异性体系的均方差(曲线Uncontrol或曲线Control)，无论是传统伸臂体系还是消能伸臂体系，其时变响应方差数值随着参数变异性的增大而增大，但这种情况在传统伸臂体系中表现更为明显，特别是在绝对加速度的均方差上；因此，相对来说，消能伸臂体系对参数变异性的敏感性弱些，这说明它对参数变异性更具鲁棒性。综上，复合随机下的消能伸臂体系的仍具有良好的减震性能，且对参数变异敏感性更低，减震更可靠。

图9 变异参数对复合随机响应影响Fig.9 The influence of variation coefficient to double random response

5 结 论

本文通过推导消能伸臂体系的有限元运动方程，提出了该体系的地震响应简化分析的“Maxwell型阻尼器计算法”，并结合Gausss-Hermite降维算法分析了消能伸臂体系在确定性激励与随机激励下的减震效果，结果表明：

(1) Gausss-Hermite降维算法计算效率较高、结果合理，且适合于伸臂体系的响应分析。

(2) 确定性激励时，与传统伸臂体系相比，消能伸臂体系具有较小的楼层响应均值与标准差，且其响应标准差随着变异系数的增大而增大。

(3) 消能伸臂体系在考虑随机激励与参数变异的情况下其减震性能仍可得到保证，且对参数变异的敏感性低，鲁棒性好，减震可靠。

总之，即使考虑参数的变异性，消能伸臂体系也具有优异的减震性能与鲁棒性。但由于篇幅所限，本文仅分析了参数变异系数相同的情况，而关于参数变异性不一致及参数变异性灵敏度情况还有待进一步研究。