振动荷载下路基的能量耗散率空间分布规律的研究

江辉煌，吴龙梁，高明显，范少峰，马 驰

(1. 中国铁道科学研究院集团有限公司，北京 100081； 2. 中国铁道科学研究院集团有限公司 深圳研究设计院，广东 深圳 518000； 3. 深圳市建设工程质量检测中心，广东 深圳 518052)

连续压实控制技术[1]越来越多的应用于地基和路基的填筑压实中。该技术的基本思想是通过处理?和分析路基振动荷载下的动力响应结果评判压实的质量和效果，从而实现连续的碾压监测。探讨振动荷载下路基动力响应的空间规律是深入研究振动压实机理的基础，也是发展连续压实控制技术的关键。实际上，振动压实的本质是一个能量传递的过程，路基的动力响应与能量关系密切。以能量形式探讨路基动力响应问题能较充分考虑到填料动力特性和填筑体波动传递效应，更能清晰描述路基动力响应规律和响应范围。同时，根据能量守恒定律，内燃机输出的能量被机械自身阻尼和填筑体所消耗，通过机械和填筑体的能量状态间接评估路基的压实质量是发展该技术的一个新思路。因此，从能量的角度探讨路基动力响应问题，研究振动路基内的能量状态具有重要的理论和现实意义。

目前，国内外研究路基动力响应特性的方法主要包括振动理论研究[2-4]、工程监测及分析[5-6]、各类试验与数值模拟[7-16]。其中，试验研究因兼备良好的针对性和可靠性而得到了广泛采用。目前，路基累计变形沉降、动应力、动位移和振动速度等各种物理量的变化规律是路基动力响应主要研究内容，以能量的形式探讨路基动力响应的报道较为罕见。当前少有的探讨土体内能量衰减与分布规律的研究也主要集中在冲击荷载作用下土体发生大变形的模型试验[17-20]。这与研究路基在振动荷载作用下发生弹性小应变时的能量状态有所不同：①冲击荷载产生的瞬时冲击波与振动荷载产生的受迫振动有所区别；②土体发生塑性变形与路基压实后主要发生弹性变形截然不同；③受边界条件和几何尺寸的影响，缩尺模型试验所得结果的可靠性有待验证。

为此，本文通过建立路基的能量耗散率理论模型，开展振动荷载下路基动力响应现场试验，研究路基小应变状态下的能量衰减和分布规律。为从能量的角度探讨路基动力响应特性提供有益参考，同时为从能量的角度探索连续压实控制新方法提供一定的理论依据和研究基础。

1 路基的能量耗散率理论模型

路基在小应变状态下，外界对路基输入的能量主要被材料的粘滞阻尼耗散。根据振动力学理论，有阻尼系统作稳态强迫振动时，一个周期内由激振力做功而从外界获得的能量等于阻尼消耗的能量。因此，可利用系统的能量耗散表征系统的能量状态。本文以单位时间内单位体积的平均耗散能量(即能量耗散率)为研究对象建立路基的能量耗散率理论模型，研究振动路基内部的能量衰减特性和分布规律。能量耗散率D可表示为

(1)

式中：Wd为一个周期内的耗散能；T为振动周期。

1.1 以动应变为变量的能量耗散率

外部作用下，单位体积的能量可表示为[21]

(2)

Y2(ω)=|Y*(iω)|sinδ

(3)

式中：W为每个作用循环对单位体积所做的功；Y1(ω)为储能模量，体现能量储存；Y2(ω)为损耗模量，体现能量消耗；ε(t)为动应变；ω为圆频率；Y*(iω)为复模量，表征稳态振动中黏弹性材料的动态力学性质，与圆频率ω和黏弹性材料参数pk，qk有关；δ为滞后角，表征黏弹性材料的粘滞程度。

式(2)中，等式右端第一项为可逆的弹性势能，第二项则表示粘滞损耗的能量，这种损耗能量将转换为热量而损耗掉，它是不可恢复的耗散能。因此，其耗散能可用式(4)表示

(4)

根据式(2)和式(4)，可得到简谐振动ε(t)=ε0cosωt的耗散率为

(5)

式中,ε0为简谐动应变幅值。

Parseval定理[22]指出，一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。它表明信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变，符合能量守恒定律。因此，周期振动的能量耗散率可被表示成一系列频率为基频整数倍简谐振动的能量耗散率的叠加，以动应变为变量的周期振动的能量耗散率可表述为

(6)

非周期振动的能量耗散率可被表示成无穷简谐振动的能量耗散率的叠加。因此，对频谱曲线进行积分可以得到非周期振动时的能量耗散率

(7)

式中：D周期,D非周期分别为基于周期、非周期信号的能量耗散率；ωn为n倍基频；εωn为n倍基频对应的动应变幅值；ω为圆频率；εω为圆频率ω对应的动应变幅值。

由于试验中测取的应变数据为预埋在路基中混凝土块的动应变，因此，路基的能量耗散率需考虑材料模量比例关系和尺寸效应对式(6)和式(7)进行换算[23]。假定填料与混凝土表面存在相对位移，即变形不协调，并且换算关系与频率无关。则换算后的路基耗散率可表述为

(8)

1.2 以加速度为变量的能量耗散率

在激振力P(t)=P0sinωt作用下，假定系统的稳态响应为简谐振动x(t)=Bsin(ωt-φ)。那么，系统中阻尼力在一个周期内损耗的能量为

(9)

又因为

(10)

那么，以加速度为变量的土体内某点的简谐振动耗散率可表述为

(11)

式(9)～式(11)中：A0，B分别为简谐振动的加速度幅值和位移幅值；φ为初相位；c为材料阻尼。

基于Parseval定理，以加速度为变量的周期振动的能量耗散率可表述为

(12)

以加速度为变量的非周期振动的能量耗散率可表述为

(13)

式中：Aωn为n倍基频对应的加速度幅值；Aω为圆频率ω对应的加速度幅值。

2 现场试验

为验证路基的能量耗散率理论模型，研究路基小应变状态下的能量衰减和分布规律，本文开展了振动荷载下路基的动力响应现场试验。试验过程中，保持激振力和振动频率不变以贴近连续压实控制技术的基本应用要求，同时针对路基在压实检测阶段仅发生微小弹性变形的工程实际，本文主要研究路基压实后的能量状态。

2.1 工程概况

试验段定于深圳市前海国际学校项目西北路基段。该路基段基底为粉质黏土层，平均厚度约5.4 m，地下水位于基底以下1.2 m处。路基设计填筑厚度为130 cm，施工时分层摊铺厚度为20～30 cm。路基段碾压完成后开挖一长、宽、深为10 m×6 m×1.3 m的试验槽，在试验槽内开展路基动力响应试验。

试验采用的填料为粉质黏土，含水率为9.8%。通过开展击实试验得到填料的最优含水率为9.2%，最大干密度为2.03 g/cm3。回填碾压和振动测试的激振设备均采用YZF3.0型振动压路机，该压路机由路捷机械公司生产，工作质量为3 000 kg，激振频率为30 Hz，加载曲线近似呈幅值为30 kN的简谐振动曲线。在本试验条件下，填料虚铺厚度系数取1.2，设计碾压遍数为6次，路基的最大压实度为0.95。

2.2 试验方案

为研究路基的动力响应特性，在坑槽内预埋振动传感器，通过采集路基受迫振动时路基内部的振动数据，分析路基内部的能量耗散率衰减规律和空间分布范围。文献[24]基于Betti-Rayleigh动力互易定理，论证了地基土Green函数的互易性，得到了均匀介质条件下振源点与受振点相互交换位置时振动响应结果不发生改变的结论。基于此，为提升空间位置可调性，减少预埋过多传感器而引起的误差以及传感器失效等风险问题。本试验保持各回填层的填料和碾压工艺一致，将填筑体近似为均匀介质，从而将振源固定不动时路基不同位置处的振动响应问题转换成了受振点固定不动而振源分别在不同位置振动的问题。

试验时，为减小下卧土层对测试结果的影响，先填筑55 cm厚的底基层。底基层按20 cm，20 cm,15 cm从基底处分层向上填筑。在底基顶层沿中轴线依次相间埋设加速度传感器A01#，A02#，A03#和应变测试块S01#，S02#，埋设间距为1 m。传感器埋设完毕之后，依次按15 cm，10 cm，20 cm，15 cm和15 cm逐层回填压实。每回填一层，依次采集激振点在距受振点0 m，1 m，2 m，3 m，4 m，5 m，6 m水平距离处的振动响应数据。激振点和传感器布置如图1所示。

图1 激振点和传感器布置图Fig.1 Excitation point and sensor layout

2.3 传感器安装及数据采集

振动测试的加速度传感器为通用型压电加速度传感器，由北京东方振动和噪声技术研究所生产，型号为INV9823，测试量程为25g，测试频率范围为0.5～4 000 Hz，测试分辨率为0.000 25 m/s2。动应变测试采用江苏泰斯特电子设备制造有限公司生产的TST120-80AA型应变片，测试敏感栅尺寸为80 mm×3 mm。应变片粘贴在边长为150 mm的C15混凝土方块的顶面和侧面上，并在应变片表面涂刷防水硅胶。应变测试块共布设2个，S01#测试块用于振动测试，S02#测试块用于温度补偿校对。需要指出的是，由于混凝土与土体存在较大的刚度差异，将影响到振动的测试结果。在计算能量耗散率时，需根据相似比原理对测取的动应变数据进行换算处理。传感器埋设完毕后加盖自制防护罩并在四周填充中砂进行防护，接线穿过厚壁PVC套管与传感器连接。振动数据采集仪器采用北京东方振动和噪声技术研究所生产的INV3062C型采集仪，数据处理和分析采用DASP V11动态信号采集分析系统，采集分析系统将实时获取的加速度和应变动态数据储存于移动硬盘。应变测试块和传感器现场埋设如图2和图3所示。

试验前对应变进行归零处理，使动应变实测值不含初始静应变。同时对各传感器进行标定，以确保采集数据的可靠性。振动轮依次在各激振点处稳定振动不少于60 s，同时采集振动状态下预埋传感器的振动响应数据。针对每种试验工况进行重复测试，直至连续两次测试的结果一致为止。

图2 应变测试块 Fig.2 Strain test block

图3 传感器现场埋设 Fig.3 Buried sensor on site

2.4 试验结果及分析

2.4.1 动力响应测试结果

试验过程中采集了路基不同深度和不同水平位置处的加速度和动应变振动响应数据，根据土体Green函数的互易性得到了振动荷载下路基中轴线剖面不同位置处的动力响应结果。振动测试中，由于传感器埋设位置较近且存在振动压路机车身振动干扰等问题，将可能影响到测试结果。因此，为减小外部噪声对试验结果的干扰，对试验结果进行低通滤波处理，截止频率取200 Hz。滤波处理后的测试结果如表1所示。部分测试结果的时域和频域曲线如图4所示。(限于文章篇幅，其余类似结果不依次罗列)

表1 滤波处理后的振动测试结果

h，L分别为受振点深度和水平距离图4 动力响应测试结果Fig.4 Dynamic response test results

由表1和图4可知，不同位置处采集到的不同类别的动力响应信号的基频均为28～30 Hz，与振动压路机的激振频率30 Hz接近，说明测试结果是有效的。由图4可知，频谱曲线均出现了不同整数倍基频的微小谐频，其主要原因是压路机与填筑体接触失耦时的非线性振动产生了频谱畸变。此外，加速度和动应变的频谱均呈现出连续分布状态，说明路基内部为非周期振动。实际上，振动响应结果主要取决于激振荷载和填料的力学性质。当两者组合产生线性振动时，响应信号通常为周期信号。非线性振动时，响应信号通常为复杂的非周期信号。

2.4.2 能量耗散率数值计算结果

根据试验测试结果，采用第2章建立的能量模型研究非周期振动路基内部的能量状态。假定路基在小应变状态下受迫振动时的损耗模量Y2(ω)、材料阻尼c和换算系数λ保持不变。分别基于式(7)、式(8)和式(13)，利用MATLAB进行数值计算，得到了的基于动应变和加速度测试结果的归一化后的能量耗散率结果，如表2所示。对于A03#的计算结果与整体平均值的误差大于30%而不予采用，表2中基于加速度的计算结果为A01#和A02#计算结果的平均值。

表2 归一化后的能量耗散率

2.4.3 能量耗散率的衰减规律

为研究能量耗散率沿水平和深度方向的衰减特性，通过拟合表2中的计算结果得到了能量耗散率的衰减规律，如图5和图6所示。拟合函数为

y=a·exp(-b·x)

(14)

式中：a为衰减拟合系数，表示衰减的初始状态；b为衰减系数，表征衰减的程度。

由图5和图6可知，函数拟合的相关性系数R均大于0.99，表明拟合效果良好。说明了式(14)适合描述本文试验中路基小应变能量耗散率的变化特性，路基中轴剖面的能量耗散率沿水平方向和深度方向呈现指数衰减规律。归一化后的能量损耗率超过某一范围后趋近于零，表明系统的能量耗散发生在有限范围内。另外，基于加速度和动应变测试结果归一化后的能量耗散率规律相近，证明了利用应变测试块间接研究土体能量耗散率变化规律的方法具有可行性。

图5 水平方向衰减规律Fig.5 Horizontal attenuation law

图6 深度方向衰减规律Fig.6 Depth direction attenuation law

为研究不同位置处能量耗散率的相对衰减规律，分别以各深度处能量耗散率的最大值为各自的归一化基准，通过式(14)进行拟合得到了能量耗散率在各深度处沿水平方向的相对变化规律。同理，以各水平距离处能量耗散率的最大值为归一化基准，得到了可表征能量耗散率沿深度方向相对变化规律的相对归一化后的能量耗散率。基于加速度的相对归一化后的能量耗散率，如图7所示。

图7 相对归一化后的能量耗散率Fig.7 Relative normalized energy dissipation rate

由图7可知，不同深度处沿水平方向的能量耗散率衰减规律基本一致，而不同水平距离处沿深度方向的衰减规律不同。衰减系数b随着深度和水平距离的增加而减小，说明距离激振点越深处的水平方向衰减越缓慢，距离激振点越远处的深度方向衰减也越缓慢。根据波动理论分析可知，能量以应力波的形式传播和耗散[25]，随着水平距离和深度增加，应力波波阵面的曲率半径逐渐增加并最终趋近于平面。即当衰减系数减小至0时，将沿水平方向和深度方向传播平面波。因此，距离振源越远处的衰减越缓慢。对比深度方向和水平方向衰减系数b可知，深度方向衰减系数约为水平方向的2.5～3.0倍，表明能量耗散率沿深度方向衰减更为明显。

2.4.4 能量耗散范围

根据2.4.3节的结论，能量耗散区的范围是有限的。为进一步研究能量耗散的界限，以归一化后的能量耗散率趋近于零的水平方向5 m和深度方向0.75 m处为研究范围。以该范围内的能量耗散率之和为归一化基准，得到了归一化后的能量耗散率的累计值，如图8所示。

由图8可知，基于加速度和动应变试验结果的能量耗散率累计值的变化规律相近。在水平方向1 m和深度方向0.45 m范围内，归一化后的能量耗散率累计值增长明显并迅速趋近于1，表明了路基的能量损耗主要发生在此范围内。

图8 归一化后的能量耗散率累计值Fig.8 Normalized cumulative value

2.4.5 能量耗散率的空间分布

以基于加速度试验结果的归一化后的能量耗散率为研究对象，通过式(14)进行拟合，得到的不同深度处水平衰减的拟合系数,如表3所示。

表3 不同深度处水平衰减的拟合系数

分析表3中拟合系数可知，衰减拟合系数a与深度近似呈指数相关关系，衰减系数b与深度近似呈线性相关关系。分别对a，b进行如图9所示的函数拟合，得到了深度z与拟合系数的关系式

(15)

结合式(14)和式(15)便可求解路基内任意位置处的归一化系数。为了更直观的揭示能量耗散率的空间衰减特性和分布规律，利用MATLAB计算得到能量耗散率归一化系数等值线，如图10所示。计算过程中，设置计算步长为0.05m并采用最小二乘拟合的方法缓和对称轴处可能存在的“尖角”问题。

图9 系数的拟合Fig.9 Coefficient fitting

由图10可知，等值线计算结果与试验结果吻合较好，表明等值线预测结果是可靠的。图10显示能量耗散率等值线呈扁平“海鸥”状，且距离能量输入点越近等值线分布越密集，表明能量耗散率沿深度方向的衰减和邻近激振点处的衰减更快。随着距离的增加，归一化后的能量耗散率趋近于零，表明耗散能量的区域是有限的，与前述结论一致。

根据图10的结果，若将能量耗散率衰减90%作为动力响应界限，即归一化系数小于0.1的范围为振动响应区域，则可认为本文试验的能量耗散主要集中在水平方向1.5 m和深度方向0.45 m范围内，能量耗散率的水平范围约为深度范围的3.3倍。根据文献[8]的研究结果，当以衰减率达到90%为动力响应界限时，列车动载作用下路基竖向动位移的响应水平范围约为深度范围的1.6～2.1倍，竖向加速度的响应水平范围约为深度范围的2.0～2.4倍。文献[10]的结果表明，当以衰减率达到90%为动力响应界限时，在移速为10 m/s的飞机动载作用下，路基竖向动应力的响应水平范围约为深度范围的1.8倍。与既有研究结果比较，本文得到了水平响应范围相对较大。差异产生的原因主要包括两个方面：其一是激振方式的异同。文献[8]和文献[10]采用移动荷载激振，而本文采用的原位正弦振动荷载激振促进了水平方向的波动效应。其二是路基构造差异。文献[8]和文献[10]以层状路基为研究对象，存在各向异性。本文采用填料单一、均匀的路基为研究对象，近似各向同性。振动在水平方向和深度方向的传播条件相近，减少了路基面层对水平波动的影响。因此，本文得到了相对较大的水平动力响应范围具有一定的合理性。

图10 归一化系数等值线图Fig.10 Contour map of normalized coefficients

3 结 论

振动压实的机理是通过机械对填料颗粒做功，使其产生相对滑移、滚动和破裂(对于粗颗粒填料)，填料颗粒重新进行紧密排列从而使填筑体达到压实状态。振动压实的本质是一个能量的传递与耗散的过程。因此，从能量的角度研究振动的影响范围，可为实际工程中填料摊铺厚度的确定提供更直接和合理的指导。此外，研究填筑体内部的能量状态是探讨振动压实过程中系统能量的传递与分配的关键内容，可为连续压实控制技术新的能量指标的研究提供有益的理论依据和研究基础。本文工作得到的主要结论如下：

(1)以能量耗散率为研究对象的路基能量状态理论模型能够较好的揭示路基内部的能量衰减规律和空间分布规律，可以为进一步的研究不同碾压条件下的路基能量状态提供参考和借鉴。

(2)根据土体的动力互易性原理，将振源固定不动时路基不同位置处的振动响应问题转换成受振点固定不动而振源分别在不同位置振动的问题，大大方便了现场试验，并提高了试验的准确性。

(3)基于Parseval定理，将非周期振动的能量等效为无穷简谐振动的能量的叠加，能够较好的解决工程实际中随机振动的能量求解问题。

(4)基于加速度和动应变测试结果的归一化后的能量耗散率计算结果相近，利用应变测试块间接研究土体能量耗散状态的方法具有一定的可行性。

(5)路基能量耗散率沿水平方向和深度方向的衰减变化规律相同，均呈指数衰减。随着水平距离的增加，沿深度方向的衰减越缓慢。随着深度的增加，沿水平方向的衰减同样越缓慢。深度方向衰减指数约为水平方向衰减指数的2.5～3.0倍，能量耗散率沿深度方向衰减相比沿水平方向的衰减更显著。

(6)在本文试验条件下，路基小应变振动的能量耗散主要集中在水平方向1.5m和深度方向0.45 m范围内，动力响应水平范围约为深度范围的3.3倍。