面向索网结构关键刚度监测的目标模态测试策略

王新涛，邓 华

(1. 浙江大学 空间结构研究中心，杭州 310058； 2. 浙江省空间结构重点实验室，杭州 310058)

索网结构是一种典型的柔性预张力结构，自1953年在美国Raleigh体育馆首次使用至今，一直都是大跨度公共建筑的常用屋盖结构形式[1-2]。与常规结构不同，索网结构必须依靠预张力提供刚度并维持结构形态稳定[3]。由于担心预张力偏差导致结构刚度变化过大，对既有索网结构实施监测越来越受到重视。直接测量索力是目前常用的监测方法，但索力传感器存在价格高、标定复杂、难以拆卸更换等缺点[4]。此外，索力测点数量一般较少，因此利用有限的索力测试数据也较难准确评价结构的整体刚度性能。相比之下，通过动力模态测试直接监测索网结构的刚度变化具有明显的优势，譬如加速度传感器可重复使用和更换，测点布置灵活等[5]。传感器布置、激励方式以及模态识别是大型结构动力模态测试的三个主要方面，相关理论与技术的发展也较成熟[6]。有效独立(Eff ective Independence, EI)法[7]、模态动能(Modal Kinetic Energy, MKE)法[8]等常用方法可有效解决传感器优化布置的问题。时域法是大型结构模态参数识别的主要方法，其中随机减量技术，ITD(Ibrahim Time Domain)法，特征系统实现算法(Eigensystem Realization Algorithm, ERA)、随机子空间识别(Stochastic Subspace Identification,SSI)法等[9-10]已在工程中得到广泛应用。为了提高模态识别的精度，通过优化激励来增强待测模态的振动能量也是常用的思路[11-12]。

近年来，关于采用动力模态测试方法对索网、索穹顶等柔性预张力结构进行刚度监测已存在一些研究工作[13]。文献[14]指出，柔性预张力结构的变形验算一般仅由少数控制性荷载工况(以下称之为“主控荷载”)决定，因此结构监测应重点关注对主控荷载产生的变形起主要抵抗作用的刚度分量，即所谓的“关键刚度”。研究还发现，关键刚度的变化实际上仅借助少数几阶模态的参数变化就能反映，而这些模态就是监测的目标模态。在具体实施监测时，首先会基于索网结构数值模型(以下简称“理想结构”)的模态分析结果确定目标模态。然而，索网结构像其它大跨度结构一样具有模态频率分布密集的动力特性[15]，这使得结构模态参数对结构刚度和质量的变化非常敏感。其主要体现在两个方面：①邻近模态的频率大小顺序发生变化而引起的模态跃迁；②同一个密频区内的模态振型成分会相互转换，即模态局部化现象[16-17]。由此可见，对于预张力偏差引起刚度变化后的索网结构(以下简称“实际结构”)，基于理想结构所确定的目标模态可能无法准确反映结构关键刚度的变化，因此需要进行修正。

引起索网结构预张力偏差的因素很多且不确定，测试前无法准确获知结构刚度及目标模态的变化。文献[18]的研究发现，目标模态的跃迁和局部化通常仅发生在其所处的密频模态区域内。考虑到预张力偏差的随机性，因此位于该密频区内的其他模态都有可能转变为与实际结构关键刚度相对应的目标模态，故也应该纳入到目标模态集合中。Wu等的研究中还提出了一种较为精确的目标模态扩展方法。然而新的问题是，经过扩展后的目标模态集合中往往包含了多个密频模态集合，而采用常规的模态测试方法往往难以将这些集合内的所有模态识别，故依然不能对结构的关键刚度进行准确评价。

本文将讨论一种适用于索网结构关键刚度监测的目标模态测试策略，重点解决密频模态区域内目标模态的有效识别问题。首先介绍索网结构关键刚度的概念以及一种目标模态扩展的简单方法。然后利用矩阵摄动理论，分析结构刚度变化后实际结构的目标模态振型与理想结构模态振型之间的关系。针对密频区内理想结构的每一阶目标模态，讨论如何通过优化阶跃激励荷载充分提高该模态的振动能量占比同时抑制该密频区内其它模态的振动。进一步将证明只要将这些优化后的阶跃激励荷载逐一施加到实际结构上，则该密频区内所有目标模态的振动都能被充分激发，从而保证其识别精度。最后利用识别到的目标模态参数估计实际结构在主控荷载下的静力位移，以实现对结构关键刚度变化的评价。文中还将对一马鞍形索网结构算例进行引入预张力偏差后的目标模态识别以及关键刚度评价，以考察本文方法的有效性。

1 关键刚度和目标模态

对于一个自由度为N、单元数为b的理想结构，如果不考虑阻尼，则某个拟监测状态下结构的模态特征方程可以表示为[19]

KTφi=λiMφi(i=1,2,…,N)

(1)

(2)

令p为结构设计时控制索网变形验算的节点静力荷载向量，即主控荷载。如果p作用下结构产生的位移为d，考虑到索网的预应力水平通常较高，可认为两者近似满足以下线性关系

KTd=p

(3)

此时，p所做的功为

(4)

如果在该索网上作用随时间t变化的荷载，则结构受迫振动的模态动力方程可以表示为

(5)

(6)

将式(6)代入式(4)，可得

(7)

(8)

(9)

可见，如果将Ep中的模态作为目标模态进行动力测试，可实现对关键刚度Kp的监测。此外，对于那些未包含在Ep中的模态i，由式(8)可知其对应的βi和vi较小且可以忽略不计，于是式(6)可近似表示为

(10)

也就是说，如果能够测得Ep中所有模态的振型和特征值，则可以利用式(10)估计p作用下的结构位移。

2 实际结构的目标模态

依据理想结构模型建成后的实际结构通常会存在预张力偏差，则KT会因几何刚度矩阵的变化而发生变化

(11)

式中：ΔKg为结构几何刚度矩阵的变化量；Δtk为单元k的预张力偏差；lk为单元k的长度；gk为单元k几何刚度的方向矩阵(N×3)，具体形式见文献[21]。

参照式(1)，刚度变化后的实际结构模态特征方程为

(KT+ΔKg)φ′i=λ′iMφ′i(i=1,2,…,N)

(12)

式中，λ′i和φ′i分别为实际结构模态i的特征值和振型向量。根据矩阵摄动理论[22]，对λi和φi进行一阶摄动后可得

(13)

(14)

容易看出，δj的大小反映模态j与目标模态i的特征值密集程度。设定阈值δu，当δj<δu时，则认为模态j与目标模态i位于同一密集模态区域内。实际工程应用中，δu的大小可利用理想结构的模态特征值分布曲线来确定，一般在0.05～0.15。

设Em={j+1,j+2, …,j+m} (m>1)为Ep中存在的一个密频模态集合，对应的理想结构振型矩阵为Φm。前面提到，模态局部化仅在密频模态间发生，因此目标模态集合扩展后Em中已经覆盖了对φ′i起主要贡献的模态。于是，忽略Em之外模态的贡献，式(13)的第二式可近似表示为

(15)

式中，ci={ci(j+1),ci(j+2),…,ci(j+m)}T为贡献系数向量(m×1)。对于Ep中的孤立模态i，其振型向量在刚度变化前后基本不变，易知cii=1，cis=0 (i≠s)，即ci={1}。可见，孤立目标模态可看作为密集模态集合Em当m=1时的特例，式(15)同样适用。

(16)

式中，Φm为振型矩阵Φm中测点自由度对应的行向量所构成的子矩阵(g×m)。

(17)

利用式(9)，可进一步重构实际结构的关键刚度矩阵

(18)

(19)

3 目标模态的测试策略

3.1 优化阶跃激励

对于实际结构，那些已发生跃迁或局部化的目标模态通常仍处在密频区中。由于受外界激励干扰、信号噪声和模态能量比例较低等因素的影响，利用常规的动力测试方法难以准确识别出这些密频区的目标模态[23]。伍晓顺等通过优化阶跃激励荷载的位置和大小来增强密频区模态参数的识别效果。其基本思想是同时释放悬挂在结构下方的荷载，以此输入较大能量使大跨屋盖结构产生自由振动。而优化后的阶跃激励荷载可针对性地增大目标模态的振动能量比例，从而提高其识别精度。

(20)

式中，Ws为结构自由振动响应中模态s的能量。定义模态s的能量比例系数为

(21)

令模态s为密频模态集合Em中的第k个模态，即s=j+k且1≤k≤m。于是，Em中各阶模态相对于模态s的能量比例系数可表示为

(22)

为了抑制Em中除模态s以外其它模态的振动，定义目标向量ψ0={0j+1,…,0j+k-1,1,0j+k+1,…,0j+m}T。进一步给定阶跃激励荷载的最大吊点数量，于是利用伍晓顺等提出的方法对ps进行优化，使得ψs=ψ0。也就是说，在经优化后的ps激励后，理想结构自由振动响应中各阶模态的能量比例系数满足

γn=0 (n∈Em;n≠s)

(23)

相对应地，将ps作用实际结构上所产生的位移为d′s。对于实际结构该密频区的某阶目标模态i(i∈Em)，式(15)已经表明φ′i可表示为理想结构Em中各阶模态振型的线性组合。参照式(21)并考虑式(23)，同样可求得ps引起的自由振动响应中该模态的能量比例系数为

(24)

于是，在激励荷载ps作用下，考虑到实际结构Em中各阶模态的特征值非常接近，其能量比例系数可表示为

(25)

(26)

这说明ci中的贡献系数不会全是小量，即总是能够从Em中找到至少一阶的模态s，使得基于理想结构优化后的阶跃激励荷载ps能够有效激发实际结构目标模态i的振动。但实际测试中ci为未知量，因此有必要针对理想结构Em中的所有模态分别进行动力模态测试。对于孤立的目标模态，以上阶跃激励优化法也同样适用。

总之，对于存在预张力偏差的实际索网结构，可对扩展后的所有目标模态逐一进行阶跃激励优化。然后分别将各组优化得到的阶跃激励荷载采用电磁铁吸附的方式悬挂在结构下方，再同时切断所有电磁铁的电源以释放这些荷载，则所有目标模态的振动分量都能被充分激发，从而确保模态识别的精度。

3.2 优化测点布置

根据EI法，结构各自由度对Φm中模态线性无关性的贡献系数向量为

(27)

式中：EI={e1,e2,…,eN}T，且0≤ei≤1(i=1,2,…,N)；diag{·}为取该矩阵的对角元素并组成列向量。如果ei≈0，表示结构第i个自由度对Φm中模态线性无关性的贡献较小，该自由度可以剔除；如果ei≈1，则表示第i个自由度对Φm中模态线性无关性的贡献较大，该自由度应该被保留。通过迭代运算不断删除贡献最小的自由度，直至得到g个优选的测点自由度。

4 数值算例

4.1 马鞍形索网及其目标模态

图1为一个正方形平面的马鞍形索网结构模型。索网共145个节点，其中32个周边节点等距离固定于外围刚性边界。各节点编号见图2。模型平面投影的两条对角线长度均为32 m，高度相差1.024 m。所有索单元截面面积均为2.148×10-5m2，材料密度为7 850 kg/m3，弹性模量为1.60×1011N/m2。结构分析时，索单元均按两端铰接的杆单元考虑。对所有单元赋予4 000 N/m的力密度，采用力密度法在仅考虑自重的条件下对结构进行找形[24]，其中重力加速度取9.8 m/s2。将找形后得到的索网结构作为理想结构，并建立结构切线刚度矩阵KT和质量矩阵M(仅考虑单元质量)。假定结构为瑞利阻尼，令阻尼矩阵C=αKT+βM，其中α=0.45，β=2.21×10-4。对理想结构进行模态分析，求得结构的所有模态特征值和振型向量。

设控制结构变形验算的主控荷载为非对称的竖向分布荷载，如图3所示。将分布荷载等效为节点荷载向量p，并求解其对理想结构产生的位移向量d。采用式(8)求得各阶模态的贡献度指标βi(i=1,2,…,399)。考虑到高阶模态的βi值接近于零，图4仅给出前10阶模态的βi值，同时将这些模态的自然频率也显示于图4中。设βu=0.95，仅选取βi较大的模态1、模态3、模态6即可满足β1+β3+β6=0.97>βu，故目标模态集合Ep={1,3,6}。定义模态特征值密集度阈值δu=0.10，利用式(14)分别对以上三阶目标模态进行分析。计算结果表明，模态1为孤立模态，记为Em1={1}。模态3、模态6则分别位于密集模态集合Em2={2,3}和Em3={4,5,6}中。从图4所示，可以发现该结果与理想结构模态频率分布特征相吻合。因此，经过扩展后的目标模态集合为Ep=[{1},{2,3},{4,5,6}]。

图1 索网结构找形后的平衡构型Fig.1 Equilibrium configuration of the cable net structure after form finding

图2 索网结构的节点编号Fig.2 Node numberings of the cable net structure

图3 主控荷载的分布Fig.3 Distribution of the dominant load

4.2 实际结构的模态特性

选择一组随机生成的预张力偏差引入理想结构模型中，将静力平衡后的结构记为实际结构，如图5所示。同样对实际结构进行模态分析，求解得到所有的模态特征值和振型。

图4 前10阶模态的和βi值Fig.4 and βi of the first 10 modes

图5 引入理想结构的预张力偏差Fig.5 Pretension deviations introduced into the idealized structure

图6 贡献系数cis的分布(i,s=1,2,…,10)Fig.6 Distribution of the contribution coefficient cis(i,s=1,2,…,10)

4.3 目标模态参数识别

4.3.1 阶跃激励荷载优化

应该指出，监测时实际结构的预张力偏差及其引起的关键刚度变化是未知的，需要借助动力测试识别到的目标模态来评估。分别针对Ep中理想结构的各阶模态，根据3.1节的思路并采用伍晓顺等的方法进行阶跃激励荷载的优化。设悬挂的荷载个数为6，优化后的加载节点和荷载大小如表1所示。将优化后的阶跃激励荷载ps(s∈Ep)逐一施加到理想结构，然后采用式(21)计算Em内各阶模态的能量比例系数γi(i∈Em)，结果如表2所示。从表2可知，所求得的ps完全抑制了除模态s之外Em内其余模态的振动。

表1 针对各阶目标模态优化后的阶跃激励荷载位置和大小

再将优化后的ps(s∈Ep)逐一作用于实际结构上，根据式(24)计算得到前6阶模态的能量比例系数，如图7所示。将图7结合图6的贡献系数云图，可以发现ps确实能够有效激发出cis较大的模态，这与式(25)的物理意义相吻合。

4.3.2 测点优化布置

设加速度测点数量g=20。采用EI有效独立法分别对针对Em1，Em2和Em3中的目标模态集合优选测点自由度，结果如图8所示。所有测点自由度均沿z向。

4.3.3 识别结果

对实际结构逐一施加优化后的阶跃激励，然后利用Newmark-β法[25]计算结构的自由振动响应，并获取优化后测点的加速度响应时程。采样频率取800 Hz，采样时间为5 s。为模拟测试中存在的信号噪声，对所有测点加速度响应时程均引入信噪比为10的高斯白噪声。利用以上测点加速度时程，采用经典的特征系统实现算法(ERA)对目标模态的频率和振型进行识别。

表2 优化后的阶跃激励荷载作用下理想结构目标模态的能量比例系数

图7 ps(s∈Ep)引起实际结构自由振动中前6阶模态的能量占比Fig.7 Energy proportion coefficients of the first 6 modes in the free vibration response of the existing structure excited by ps(s∈Ep)

图8 优化后的测点位置及其节点编号Fig.8 The optimized sensor locations and their node numberings

4.4 关键刚度评价

根据识别到的实际结构目标模态非完备振型向量，采用式(16)对ci(i∈Ep)进行最小二乘估计，计算结果如表4所示。

表3 目标模态特征值的模态分析结果和识别结果

图9 目标模态非完备振型的模态分析结果和识别结果Fig.9 Incomplete mode shapes of the target modes obtained by modal analysis and identification, respectively

表4 ci(i∈Ep)的最小二乘估计值

(28)

5 结 论

(1) 索网结构模态频率分布的密集性使得基于理想结构确定的目标模态会因刚度变化而出现模态跃迁和局部化现象，因此并不能直接用于实际结构关键刚度的监测。本文算例分析已经验证，目标模态的跃迁和局部化只发生在其所处的密频模态区域内，因此将同一密频区的其它模态也纳入目标模态集合是保证实际结构关键刚度监测精度的首要措施。

图10 1-1剖面处节点的z向位移Fig.10 z-direction displacements of the nodes in section 1-1

(2) 对于密频区目标模态识别的难题，采用优化阶跃激励荷载的思想保证目标模态的振动能量并同时抑制同一密频区其它模态的振动，这为提高目标模态的识别精度奠定了基础。更重要的是，针对密频区所有理想结构模态所优化的阶跃激励荷载如果逐一施加到实际结构上，还可确保该密频区实际结构各阶模态的振动均被有效激发，从而解决了该密频区内所有目标模态的有效识别问题。本文的理论推导和算例分析结果均验证了该策略的有效性。

(3) 算例分析结果还表明，采用以上策略识别到的目标模态参数可以准确计算实际结构在主控荷载下的静力位移。通过与理想结构的静力位移对比，便可实现对实际结构关键刚度变化的评价。