非线性成型振动台混沌特性分析与仿真研究

周奇才，王聪聪，熊肖磊，董日腾

(1.同济大学 机械与能源工程学院，上海 201804； 2.同济大学 浙江学院，浙江 嘉兴 314051)

预制混凝土构件成型的主要方式是通过振动成型装备的低幅、高频振动使得混凝土骨料各颗粒之间发生相对运动，缩小颗粒间的缝隙，排出拌合物中的空气，骨料和水泥净浆相互填充最终密实成型。为了获得更好的成型质量就要在一定时间内让不同大小的骨料颗粒都能获得尽可能多的能量，引起共振增加颗粒之间碰撞拌合的机会，从而提高构件的密实度和均匀度。所以直接影响构件成型质量的主要技术参数是振动的加速度、频率和振动时间，更大的振动加速度能够将更多的能量传递到混凝土内部，一定范围的频率带能够适应不同大小颗粒的固有频率，合适的振动时间能够节省能源缩短成型周期。

目前市场上采用最多的成型装备是偏心轮式机械振动台，尽管可以通过调节激振力的大小获得不同的加速度，但是其振动频率比较单一，成型效果不佳，经常出现密实度不高、表面麻面、开裂等诸多问题，所以需要对其进行改进。混沌振动的宽频特征给了学者和技术人员新的启发。具有一定条件的非线性系统在受到规则激励时会产生无规则且不重复的振动，这就是混沌振动。因为混沌振动的有害性，早期的研究多集中在混沌振动的控制领域[1-4]，但如果能将混沌理论推广应用到振动密实领域，有效利用混沌振动的宽频响应特性，就能使混凝土骨料中不同粒径的颗粒产生共振，从而提高骨料散体的密实度和均匀性，进而显著提高预制件的成型质量。基于以上思想，已经有很多学者在振动密实及其相关领域开展了研究。比如Long[5]通过0.75 t,10 t和14 t三种混沌振动压路机的振动试验、数值模拟和压实试验证明混沌振动压路机的工作效率比传统振动压路机高12.2%；刘本学等[6]针对当前单频振动压实机械压实性能不足的问题,提出了一种基于双频合成技术的双频振动压实机械，并通过试验验证压实效果优于单频振动；贠志达[7]通过分析大型混凝土振动台的振动系统设计了三偏心混沌振动台；李彦泳[8]则从离散元分析的角度对此混沌振动台的效果进行仿真验证，得出混沌振动台相比传统振动台有更好的密实效果；苏春建等[9]提出了一种基于混沌振动的混凝土砌块成型机，推动了混沌振动理论在建筑工业领域的应用。

碟型弹簧是由钢板冲压成型的碟状垫圈式弹簧，具有刚度大，变刚度等特点，改变内锥高度和厚度的比值，可以得到不同的特性曲线，具有范围很广的非线性特性；组合方式灵活，有对合、叠合、复合组合三种方式，采用不同的组合方式，能使碟簧特性在很大范围内变化。装有碟型弹簧的动力吸振器以其宽频带减振的特点而获得重视[10]。本文在前人研究的基础上提出一种基于碟型弹簧隔振的非线性成型振动台，建立振动台的物理模型和动力学模型并利用Matlab进行数值分析，仿真结果表明改进的振动台具有混沌特征，能够产生宽频振动。

1 传统振动试验台结构及试验结果

传统小型混凝土振动试验台结构如图1所示，振动平台四周放置四个弹簧隔振器，采用一组偏心式振动电机作为激振源产生垂直方向的激振力，通过控制变频器的输出可以调节振动电机的激振频率，符合单频输入单频输出的特性。

图1 传统振动试验台模型及实物图Fig.1 Model and physical drawing of traditional vibration test-bed

进行振动密实试验的装置如图2所示，混凝土砌块模具固定安装在振动台面上方，在不同控制参数下进行混凝土的振动密实试验。

图2 振动密实试验装置Fig.2 Vibration compaction test device

图3为30 Hz激振频率下得到的振动试样及切片取样结果，从图3可知，尽管振动后的试样外形比较规整，但在切片过程中由于砌块内部的密实度不高依然会发生开裂甚至崩坏的情况，传统振动密实存在成型效果不佳、密实度低的问题。

图3 振动后试样及切片取样结果Fig.3 Sample and slice sampling results after vibration

3 改进振动台物理模型和数学模型

根据实际需求构建改进振动台的物理模型如图4所示。三维模型如图5所示。

1-驱动缸组成的多自由度机构;2-中间支架;3-模框及混凝土；4-模台；5-台架；6-振动器;7-碟型弹簧隔振器图4 振动台结构物理模型Fig.4 Physical model of shaking table structure

图5 振动台结构三维模型Fig.5 Three-dimensional model of shaking table structure

按照主要功能将振动台分为低频和高频两大部分，低频部分由下部的多自由度机构和中间支架组成，用来支撑台体以及混凝土在模框内的均匀铺开，本文不对此做进一步研究；高频部分由4，5，6，7组成，负责混凝土的振动密实，也是本文研究的对象。

振动台的技术参数如表1所示。已知要求未放上型模时振动台的加速度为5～10g，放上型模进行振实时为2～4g[11]，所以选择振动器的功率和激振力等参数如表2所示。

表1 振动台技术参数Tab.1 Technical parameters of shaking table t

表2 振动器技术参数Tab.2 Technical parameters of vibrator

振动台高频部分空载时的参振质量

M0=M2+N·M5

(1)

振动加速度

(2)

放上型模后的总参振质量

M∑=M0+M1+α·M4

(3)

式中：α为砌块制品混凝土的结合系数，取值为0.2～0.4[12]；N为振动器的数量。

振动加速度

(4)

所以振动器满足加速度要求。振动台共有16个隔振器，根据GB 50463—2008《隔振设计规范》，单个隔振器的承载力满足

(5)

表3 碟型弹簧技术参数Tab.3 Technical parameters of disc spring

每个隔振器由两片碟簧叠合，6组碟簧对合而成，承载力

Pi=2Fi·μ=44.88 kN

(6)

式中,μ为碟簧之间的摩擦因数，当两片叠合时取0.85。

碟簧隔振器的物理结构模型如图6所示。

图6 隔振器结构模型Fig.6 Physical model of vibration isolator

对于上述振动台模型作如下假设：①下部多自由度机构静止时可以视为刚度无限大的刚体；②隔振器的质量很小，可以忽略不计，其库伦阻尼等效为线性阻尼，只考虑黏性阻尼和弹性非线性；③振动台完全沿垂直方向单向振动，激振力为垂直方向的简谐激励，作用在台架质心，且F(t)=F0cosωt。可将振动台简化为一个单自由度振动力学系统，其数学模型为

(7)

式中：m为振动台高频部分的总参振质量；c为阻尼系数；f(x)为碟簧隔振器的非线性恢复力；F0为激振力幅值;ω为激励圆频率。

已知单片碟簧承受的载荷与位移之间的关系[14]为

P=K1X-K2X2+K3X3

(8)

当碟簧隔振器由多片碟簧复合组合而成时，叠合方式相当于弹簧并联，对合方式相当于弹簧串联。所以隔振器的非线性恢复力可以表示为

f(x)=k1x-k2x2+k3x3

(9)

式中:k1为隔振器的线性刚度系数;k2,k3分别为二次、三次非线性刚度系数。

研究平衡位置x0附近的振动，因为在平衡位置满足[15]

(10)

所以令x1=x+x0，并将式(9)、式(10)代入式(7)，化简后得

(11)

(12)

3 数值仿真与混沌分析

利用Matlab/Simulink软件搭建振动台的混沌响应数值仿真平台如图7所示。从图7可知，主要由输入参数、响应曲线图和原理框图三部分组成。设定质量、阻尼比、激振力和频率4个输入参数，便于实时观察振动台的激励响应。

图7 振动台混沌响应数值仿真平台Fig.7 Numerical simulation platform for chaotic response of shaking table

为确定激励参数，根据混凝土振动密实过程中较为合理的加速度-频率比r/f=1～2[17]，先设初始激振频率ω=30 Hz、激振力幅值F0=100～400 kN，隔振器阻尼比γ=0.1[18],步长ΔF=100，用4阶Runge-Kutta法对式(11)进行数值积分得到系统的响应随激振力变化的分岔图，如图8所示。由于正交法求出的 Lyapunov 指数谱的精度高、耗时少、抗干扰能力较强[19]，所以采用正交法利用Matlab编程计算得到Lyapunov指数谱如图9所示，其中λ1为最大Lyapunov指数。

图8 系统随激振力幅值变化的分岔图Fig.8 Bifurcation diagram of the system with the amplitude of exciting force

图9 以激振力幅值为参数的Lyapunov指数谱Fig.9 Lyapunov exponent spectrum with excitation force amplitude as parameter

从图8可知，当激振力幅值F0∈(100 kN,234 kN)时，系统作周期1运动，其中在F0=144.5 kN和F0=168.5 kN出现两次跳跃现象，取F0=200 kN，如图10所示，相图为封闭曲线，Poincaré映射图只有一个孤立的点，时间历程曲线规则有序，频谱图为离散谱，λ1=-6.175 7<0；当F0=234.5 kN时系统发生倍周期分岔，开始作周期2运动，取F0=235 kN，如图11所示。Poincaré映射图出现两个孤立的点，其他特征仍和周期1保持一致，λ1=-6.211 9；当F0=242.5 kN时，系统演变为周期3运动，当F0=265 kN时系统由周期3运动转化为周期4运动，取F0=270 kN，如图12所示。λ1=-0.275 5；随着激振力幅值的继续增大，当F0=273 kN时系统再次经历倍周期分岔演变为周期8运动，如图13所示。此时λ1=-0.228 2；F0=282 kN时系统进入混沌区域，演变为混沌运动，取F0=320 kN，如图14所示。相轨迹曲线互相缠绕，不重复而且不封闭，Poincaré映射图是呈现一定分形特征的点集，频谱图在一定范围内是连续的，具有明显的宽频特性[20]，λ1=4.294 6>0；在F0∈(330 kN,337 kN)时系统出现短暂的周期运动窗口，表现为周期5运动，λ1<0，之后又重新进入混沌状态；F0=401 kN之后系统离开混沌区域进入大周期运动状态，并最终演化为单周期运动。

图10 F0=200 kN时各参数曲线和图谱Fig.10 Parameter curves and spectra at F0=200 kN

图11 F0=235 kN时各参数曲线和图谱Fig.11 Parameter curves and spectra at F0=235 kN

图12 F0=270 kN时各参数曲线和图谱Fig.12 Parameter curves and spectra at F0=270 kN

图13 F0=273 kN时各参数曲线和图谱Fig.13 Parameter curves and spectra at F0=273 kN

图14 F0=320 kN时各参数曲线和图谱Fig.14 Parameter curves and spectra at F0=320 kN

令激振力幅值F0=400 kN，频率ω=10～45 Hz，步长Δω=0.01，绘制系统响应随激振频率变化的分岔图如图15所示。Lyapunov指数谱如图16所示。从图16可知，当激振频率较小时系统作周期运动，λ1<0，ω=13.58 Hz之前系统作周期2运动并在ω=12.81 Hz处经历一次跳跃，在ω∈(13.58 Hz,30 Hz)系统作单周期运动，取ω=20 Hz如图17所示。之后进入混沌运动状态，取ω=31 Hz如图18所示。λ1=6.379 7，ω=33.36 Hz时系统结束混沌状态演变为周期2运动，取ω=33.5 Hz如图19所示。λ1=-6.213 5；之后又经历一系列倍周期分岔重新进入混沌状态，随着激振频率的继续增大，ω=36.63 Hz时系统开始倍周期倒分岔，依次经历周期4和周期2最终演化为单周期运动。

图15 系统随激振频率变化的分岔图Fig.15 Bifurcation diagram of the system with variation of excitation frequency

图16 以激振频率为参数的Lyapunov指数谱Fig.16 Lyapunov exponent spectrum with excitation frequency as parameter

图17 ω=20 Hz时各参数曲线和图谱Fig.17 Parameter curves and spectra at ω=20 Hz

其他参数不变，取激振力幅值F0=400 kN，激振频率ω=30.7 Hz，以阻尼比γ为分岔参数得到系统的分岔图如图20所示。Lyapunov指数谱如图21所示。当γ∈(0,0.087 5)阻尼比较小时系统作周期1运动，λ1<0，之后经过跳跃进入混沌区域，取γ=0.104，如图22所示。λ1=6.785 3>0；γ=0.116时系统迁转为周期5运动并进入短暂的周期窗口，λ1<0，如图23所示。γ=0.118时又重新进入混沌区域，γ=0.151时系统经历倍周期倒分岔演变为周期8运动，γ=0.157时演变为周期4运动，在经历一系列倍周期倒分岔现象之后最终演变为单周期运动。可见阻尼比在一定范围内系统可以产生混沌振动。

图18 ω=31 Hz时各参数曲线和图谱Fig.18 Parameter curves and spectra at ω=31 Hz

图19 ω=33.5 Hz时各参数曲线和图谱Fig.19 Parameter curves and spectra at ω=33.5 Hz

图20 系统随阻尼比变化的分岔图Fig.20 Bifurcation diagram of system with damping ratio

图21 以阻尼比为参数的Lyapunov指数谱Fig.21 Lyapunov exponent spectrum with damping ratio as parameter

图22 γ=0.104各参数曲线和图谱Fig.22 Parameter curves and spectra at γ=0.104

图23 γ=0.116各参数曲线和图谱Fig.23 Parameter curves and spectra at γ=0.116

4 结 论

文中对基于碟簧隔振器的非线性成型振动台的混沌特性进行了研究，利用Simulink搭建混沌响应仿真平台对推导的数学模型进行数值计算，通过求解系统响应随激励参数的分岔图确定激励参数，采用Runge-Kutta法求解并绘制系统的相轨迹图、Poincaré映射图、时间历程曲线、频谱图和最大Lyapunov指数，仿真结果表明通过适当的激励能够使其产生混沌振动，具有宽频响应的特性。鉴于研究的假设，理论模型无法与实际工况完全一致，所以在进一步的应用研究中，需要结合理论分析得出的参数进行大量的试验才能确定系统进入混沌状态的准确参数。

文中提出了一种成型振动台的宽频响应方案，建立了碟簧隔振器混沌特性研究的理论基础，既有利于碟型弹簧材料的推广应用，又能利用其变刚度的非线性特性进行工程设计，指导生产作业中的参数设计和调整，具有重要的理论参考价值和工程指导意义。