数学问题解答

(安徽省六安第二中学 陶兴红 237005 )

解由y3(5-2x3)=3,可得

所以由均值不等式得

即52P3≥55,所以P≥5,

(河南辉县一中 贺基军 453600)

证明设四边形AEFB的周长为p1，△CEF的周长为p2，由题设知p1=p2，过点B作直线BG∥AD，延长CA交直线BG于点G，如图.

因∠AGB=∠CAD=∠BAD=∠ABG，

故AG=AB，EG=EA+AB.

在△CGB中，EF∥AD∥GB，

由p1=p2得CF=FB.

根据题设，△ABC的外接圆记作圆O1，△CEF的外接圆记作圆O2. 延长AD交圆O1于点N，连接并延长NF交圆O1于点M，连接BN，CN和MC.

在圆O1中，由∠BAN=∠CAN知BN=CN，又由BF=CF知直线FN垂直且平分BC，因此MN是圆O1的直径，MN的中点是O1.

由∠CEF=∠CAN=∠CMF知M，E，F，C四点共圆即M在圆O2上，因此圆O1与圆O2除交点C外另有交点M.

在圆O2中，∠MFC=90°，因此MC是圆O2的直径，MC的中点是O2.

在△ABC和△CEF中，由正弦定理得

由∠ACB=∠ECF=30°得

O1M=AB，O2M=EF.

在△O1O2M中，可得∠O1O2M=90°，

2578已知正实数x,y,z满足x+y+z=1，求证：

(浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗 314300;北京航空航天大学图书馆 宋庆 100191)

证明首先证明如下不等式.

当x,y,z>0时，

9(x+y)(y+z)(z+x)

≥8(x+y+z)(xy+yz+zx)．

由于

9(x+y)(y+z)(z+x)-8(x+y+z)(xy+yz+zx)

=(x+y)(y+z)(z+x)-8xyz

=x(y-z)2+y(z-x)2+z(x-y)2≥0

上式即证．

由柯西不等式，

2579以AB为直径的圆⊙O的方程为x2+y2=1，A(1，0).C为射线AB上一个动点，D位于直线AB上方，DC⊥AB于C点，△ACD的CD边的旁切圆⊙P与⊙O相切.试证：P点的轨迹方程为2y=|x2-1|，(x<1且x≠-1).

(浙江台州市洪家高级中学 邬天泉 318000)

证明以BA为x轴，BA的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，A(1，0)，设C(a，0).以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，

(1)

设△ACD的CD边的旁切圆的方程为

(x-a+b)2+(y-b)2=b2，

(2)

这里P(a-b，b)，(b>0).

联立(1)(2)得两圆的根轴方程为

2(a-b)x+2by=(a-b)2+1，

(3)

由于上述两圆相切，

则原点O到直线(3)的距离为1，

即 |(a-b)2-1|=2b，

(4)

即动点P的轨迹方程为

2y=|x2-1|.(x<1且x≠-1)

2580如图所示，在△ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，P为△ABC内一点，且∠PAB=∠PBC=∠PCA(即P为△ABC的勃罗卡点)，△ABC的外接圆半径为R，△PBC,△PCA,△PAB的外接圆半径分别为R1,R2,R3，则

(1)R1R2R3=R3；

第三，后期维护由所有权人负责。较大规模的工程，一般是建立工程管理机构，由其负责供水管理以及包括管道工程在内的工程维护；小规模的供水工程，一般由受益村自用自管。