一道中考题的多种解法和拓展探究

王平 曾雪东 符礼梅

[摘  要] 许多中考试题是由专家精心命制而成，具有丰富的知识内涵和多样的解題方法，对这些试题的研究，有助于后续教学中培养学生的解题能力和应变能力.文章研究了2020年重庆中考数学A卷的一道几何题的多种解法，并对其进行了拓展探究，进而达到“一题多解”的效果.

[关键词] 三角形;解法;探究

问题的多种证法

题目  （2020年重庆中考数学A卷第26题）如图1所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE. 连接CE，DE. 点F是DE的中点，连接CF.

（1）求证：CF=AD;

（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明猜想的结论. （后面省略了原题的第（3）问）

本题以等腰直角三角形为背景，是中考数学中出现频率较高的题型. 本题综合考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、勾股定理、旋转变换等相关知识. 这类题目学生并不陌生，但要求学生结合具体条件和所学知识能灵活处理问题. 下面分别从相似（方法1、方法2）、勾股定理（方法3）、全等（方法4、方法5）、四点共圆（方法6）、三角函数（方法7）等角度进行思考，给出本题第（2）问的七种解法.

（1）证明：因为∠BAC=90°，∠DAE=90°，所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC=∠CAE. 又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ACE. 所以∠ACE=∠ABD=45°，∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°. 又点F是DE的中点，∠DAE=90°，AD=AE，所以CF=DE=AD.

（2）猜想：BC=3AG.

方法1：由（1）得∠DCE=90°，CF=EF=DF，所以∠FDC=∠FCD. 因为∠DAE=90°，AD=AE，所以∠ADE=∠B=45°. 又∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，所以∠BAD=∠EDC，所以∠BAD=∠FCD. 又∠B=∠B，所以△ABD∽△CBG，所以=.

因为在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，所以=，所以BG=BD. 设CD=a，则BD=2a，BC=3a，AB=a，BG=2a，所以AG=BG-AB=a，所以BC=3AG.

方法2：过A作AH⊥BC于H，连接AF，如图3所示.

由（1）得∠DCE=90°，CF=DE. 因为在等腰直角三角形ADE中，F是DE的中点，所以AF=DE，∠DAF=45°. 所以AF=CF，所以∠FAC=∠FCA. 在等腰直角三角形ABC中，AH⊥BC，所以∠HAC=45°，BH=CH. 所以∠HAD=∠HAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC=∠FAC，所以∠HAD=∠FCA. 又∠AHD=∠GAC=90°，所以△AHD∽△CAG，所以……