关于角平分线与高的夹角模型的深入探讨

高德文

[摘  要] 三角形的角平分线与高的夹角模型有着极高的研究价值，总结模型、解析方法，生成模型突破策略，可提升学生的解题能力. 文章以常见问题为例，引出几何模型并立足基本性质，论证模型结论，同时在考查视角下进行综合探究，开展教学探讨.

[关键词] 角平分线;高线;模型;结论;性质;拓展

问题引出

问题  如图1所示，在△ABC中，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线. 已知∠B=50°，∠C=60°，则∠DAE=____°.

解析  问题中给定了三角形的高和角平分线，以及部分角的度数，求其所构成的角的度数，可充分利用三角形内角和定理及角平分线定理进行推导.

在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，则∠BAC=70°. 又知AE是△ABC的角平分线，则∠EAC=∠BAC=35°;AD是△ABC的高，则∠ADC=90°，所以在△ADC中，可得∠DAC=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°.

思考  上述问题中，角平分线定理、三角形内角和定理是问题突破的关键，对于∠DAE，可将其視为角平分线（AE）与高（AD）的夹角;关注另外的两角（∠B=50°，∠C=60°），显然它们之间有如下角度关系：∠DAE=. 由该角度关系猜想如下：三角形一个顶角的平分线与底边上的高的夹角，与另外两角之间存在着一个恒定的数量关系.

教学探究

三角形的角平分线（在此指线段）和高是其重要的线段，对应的性质定理在几何中也有着广泛的应用. 实际上，两条线段之间的夹角与三角形另外两角之间存在着一定的规律，具体内容如下.

定理  三角形同一顶点引出的角平分线与高的夹角等于三角形另外两角之差的绝对值的一半. 以图1为例，可表述为∠DAE=.

实际教学中，建议采用信息描述、角度分析、过程探究的方式，引导……