对Auslander类和Bass类的进一步研究*

王善策， 张 珍

(齐鲁师范学院数学学院，250200，山东省济南市)

0 引 言

交换诺特环上的半对偶化模最初是由 Foxby[3]、Golod[4]和 Vasconcelos[5]分别以秩为 1 的PG-模、suitable 模和 spherical模三个不同的名字引入并研究的.半对偶化模(复形)在模论、环论、表示论中扮演了重要的角色.设C是一个半对偶化模，很多情况下，半对偶化模可以代替环自身的正则模，从而可以推广很多经典同调代数中的结论.并且，半对偶化模C诱导了一些有趣的模类，像C-投射模类，C-内射模类，C-平坦模类.最近，Holm 和 White[7]在一般结合环上定义了半对偶化双模，以及 Auslander 和 Bass 类，并用C-投射模，C-内射模刻画了Auslander 和 Bass 类.由半对偶化模C诱导的相对同调代数引起了国内外大量专家学者的关注，并且大家把目光聚焦在关于Auslander 和 Bass 类的研究上.值得注意的是，在非交换、非诺特环上，Holm 和 White[7]引入了 Foxby 等价的内容，即，所有的C-内射R-模都包含于 Auslander 类Ac(R)中，所有的C-投射(平坦)S-模都包含于 Bass 类Bc(S)中.

本文的第一个结果，即通过引入偏 Auslander 类 (Bass 类)，推广了传统的 Foxby 等价,即定理 2.1.

当R是一交换环，C是R上的一个半对偶化双模时，Takahashi and White[9,Corollary 2.4]证明出Auslander类Ac(R)中的所有模都有正和的properC-内射分解，Bass类Bc(R)中的所有模都有正和的 properC-投射分解.

本文的第二个结果证明出上述结论的逆也是成立的，即，具有properC-内射分解(C-投射分解)的模一定在Auslander类Ac(R)(Bass类Bc(R))中.因此，本文部分推广了Takahashi 和 White[9,Corollary 2.4]的结果即注2.2.

1 预备知识

本文假设R是含有单位元的结合环.首先，引入一些概念，这些概念被Avramov,Martsinkovsky[1],Holm[5]以及 SatheR-Wagstaff,Sharif 和 White[8-10]所使用.

定义1.1 设χ是一右R-模类，M是一右R-模.M的一个χ-分解是指M含有如下的一个正合序……