高中生学习立体几何的障碍及教学改进策略

【摘 要】在高中数学知识中，立体几何占据着重要的地位。立体几何知识的特殊性，决定了学生在学习过程中会遇到与学习其他知识不同的障碍。对这些问题的探讨，有助于教师更加全面地了解学生的学习情况，及时改进自己的教学策略。

【关键词】高中数学;立体几何;障碍;改进策略

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0025-02

人们感知的现实空间是三维空间，而三维空间中物体的形状、大小和位置关系就是立体几何所要研究的对象[1]。立体几何中，有大量的定义、判定定理、性质定理，有类比法、化归转化、分析法、综合法等重要的思想方法，以及许多可以简化问题的二级结论[2]。立体几何具有抽象的知识体系，给高中生的学习造成了一些障碍。

1   高中生学习立体几何的障碍

1.1  缺乏生活体验

目前部分学生多专注于课程学習，生活体验不足，缺乏生活常识，造成了认知障碍。以下面这道题为例：在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M是棱A的中点，过点C、M、D作正方体的截面，求截面面积。解决这个问题需要利用面面平行的性质和平面的基本性质，画出截面与正方体各个面的交线，最后得出截面是等腰梯形。但是，有学生提出质疑，感觉在现实生活中不可能是这样的。其实这就是由于学生缺乏生活常识导致了对本题的认知障碍，如果平时学生会观察生活，便能发现在切菜时随着刀法的不同，切出的菜的形状也会有所不同。

1.2  缺乏空间想象能力

在学习立体几何之前，学生在书本上接触到的图形基本都是平面图形，头脑里对于图形的认识都停留在平面上。即使生活中接触的大部分是立体图形，但是因为没有从立体角度思考，学生便不会在意这些问题。长久以来的思维习惯也导致了学生缺乏空间想象能力。如有学生能理解画立体图形直观图的方法，但是画出的直观图缺乏空间感。

1.3  对教材基础知识掌握不到位

立体几何涉及大量的概念、公式、定理，以及许多经常用到的二级结论，学生只有先掌握这些知识，才能在解题时有的放矢。而现实情况是，很多学生只是知道一个个单独的知识点，而不能将它们串联起来形成体系。这就给解题带来极大的挑战，题目能否做出来就看自己是否刚好想到了题目里用到的某个关键知识点，而不是根据题目特征，分析出解决问题需要用到哪部分的知识。

1.4  对基本思想方法理解不够

生活体验和空间想象能力的缺乏，以及对教材中概念和定理本质的认知不足，导致学生只能死记硬背教师教授的方法，当题目条件稍微变化，或者题目比较灵活时，就不能独立解决。如在学习的过程中，有学生提出，听老师分析感觉都很有道理，自己就想不出来。也就是，如果告诉这个学生，解决这个问题需要经过哪几个关键点后，他能够逐一得到这几个关键点。但如果不给他任何提示，他就不知道如何去找到这几个关键点。

2   高中数学立体几何教学改进策略

2.1  运用数学教具模型

在学习立体几何的过程中，可以用到数学教具模型。学生通过观察立体几何模型，首先会产生直观感知，然后通过教师的引导，可以抽象出数学上的概念、公理、定理等。如在最开始引入棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的概念时，可以先让学生观察相关几何体，然后自己总结出这几类空间图形的结构特征。长方体是比较简单的几何体，也是学生非常熟悉的。在研究点、线、面的位置关系时，可先让学生观察长方体，然后再抽象出几类关系。此外，教师也可以自制一些简单、有代表性的模型，帮助学生理解。如面对“三个互不重合的平面可能把空间分成几个部分”这个问题，学生已经知道两个互不重合的平面可以把空间分成三个或四个部分。但是现在增加一个平面的情况下，问题的难度增加了许多。首先要考虑平面的基本性质，其次还要研究第三个平面可能会与前两个平面存在哪些位置关系。学生刚开始接触平面的知识，画图能力和空间想象能力都有所欠缺。在解决这个问题时，教师完全可以自制教具，找到三个矩形硬纸板代表平面，每个纸板沿着中位线剪开一半，这样就很容易演示两个平面相交的情况。

2.2  运用多媒体技术

多媒体技术可以模拟真实的三维空间，为理解和研究立体图形提供几何直观。所以，在立体几何的教学中，运用多媒体技术是很有必要的。如在引入一些几何体的概念前，先用PPT展示世界上一些著名建筑的图片，让学生感知到立体几何确实来源于生活，引起学生兴趣。在介绍旋转体时，先通过视频介绍制陶工艺，让学生从中感知旋转体是通过旋转产生的。在讲解动点问题时，借助几何画板演示，让学生感受动点位置不同会引起直线或者平面位置的变化。利用多媒体技术，展示长方体模型，方便学生多角度地研究空间中点、线、面的位置关系。

2.3  引入合适的生活场景

平面的性质是以基本事实的形式给出，但是为了让学生经历知识的发生过程，教师完全可以引入合适的生活场景或借助教室里的物品辅助教学。如用三根手指的指尖就能托住一个纸板，说明不在同一条直线上的三点可以确定一个平面。只需把笔的两端放在桌面内，那么整支笔就会在桌面内，说明直线上只要有两个点在平面内，那么这条直线就在平面内。书本可以跟桌面只有一个公共点，但是两个平面如果有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线，这是由平面的性质决定的。数学上的平面是抽象出来的一个概念，可无限延伸，在生活中是找不到的。再如以门和墙面为例，来研究线面平行。打开的门，不管转动到任何位置，都跟门轴平行，也跟门轴所在墙面平行，由此可得线面平行的判定定理。打开的门，不管转动到任何位置，跟门轴所在墙面平行，而且始终跟门轴平行，由此可得线面平行的性质定理。

2.4  让学生学会识图与画图

在立體几何中，有三种语言：文字语言、符号语言和图形语言。由于立体几何是研究立体图形，所以跟其他部分相比，立体几何尤其注重图形语言。认识和研究空间图形要经历四个阶段：直观感知、操作确认、度量计算和思辨论证。简单来说，就是需要识图、画图、算图和论图。那么对学生的要求就是要能够画出常见几何体的直观图;反过来，如果给出几何体的直观图，学生也要能够分析出其中点、线、面的位置关系。在刚开始学习画图的时候，教师可以拿一些模型出来，让学生观察并讨论观察到的立体图形与实际的立体图形相比有什么不同。然后结合课本上对斜二测画法的介绍，归纳出画立体图形的要点。最后，让学生自己尝试着画出立体图形，并通过实物投影展示学生成果，让全班一起投票选出最具有立体感的图，并再次强调画图要具有立体感。看得到的线画成实线，被遮挡的线要画成虚线，这样学生的空间感就能逐步形成。有了自己画图的体会后，再去识图，学生也能清楚地知道怎么去看。

2.5  展现完整的思维过程

立体几何中需要研究空间直线和平面的位置关系，这部分题目通常以证明题的形式出现。以这道题为例：（如图1）已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上异于A、B的一点，求证：平面PBC⊥平面PAC。面面关系是立体几何中最高维度的位置关系，想要证明面面垂直，只能用面面垂直的判定定理，关键就是在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直。而根据面面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，在其中一个平面内垂直于交线的直线，一定垂直于另一个平面。首先找到两个平面的交线PC，然后在其中一个平面内找到与PC垂直的直线，BC就是满足要求的直线。这可以用三垂线定理来说明，因为BC垂直于PC在平面ABC内的射影AC，所以BC垂直于PC。但是具体到证明过程，则只能用到教材里的公理和定理。在寻找题解思路的过程中，可以用分析法，要证平面PBC⊥平面PAC，只需证BC⊥平面PAC。要证BC⊥平面PAC，只需证BC与平面PAC内的两条相交直线都垂直。而通过分析题目条件，不难得到直线BC与平面PAC内的两条相交直线PA和AC都垂直。接下来，只需要从题设条件出发，用综合法写出完整的证明过程即可。

2.6  梳理教材知识

以苏教版教材为例，教材中介绍了柱、锥、台和球的概念，以及相应的表面积与体积公式。一个基本事实和三个推论来确定平面，还有用来判定线在面内，以及两平面交线的基本事实，等角定理以及平行公理。位置关系主要是研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系。在研究这几类位置关系时，需要理清课本上的定义、判定定理和性质定理。在教学中，可以用图2来表示以上几种关系的相互转化。

2.7  强化基本思想方法

立体几何中有两类特殊的关系：平行和垂直。在研究过直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系后，学生已经掌握证明空间图形位置关系的基本方法，接下来研究垂直关系，教师完全可以引导学生用类比法自主研究，教师只需要适时点播，指出两种关系的差异，帮学生正确区分。

立体几何中的一个重要思想方法是降维，即把空间图形问题转化为平面图形问题，这在许多计算问题中能够体现出来。以这道题为例：已知圆锥的底面半径为2，高为，求该圆锥的内切球表面积。要求圆锥的内切球表面积，就要知道内切球的半径。球心到圆锥底面和侧面的距离都是半径，球心到底面的距离就是球心与底面圆圆心的距离，而球心到圆锥侧面的距离就比较复杂。其实，本题只需要研究圆锥的轴截面，就可以把立体几何问题转化为平面几何问题。圆锥的轴截面是等腰三角形，截球所得是大圆，大圆刚好是等腰三角形的内切圆。接下来就把问题转化为求等腰三角形的内切圆，用初中学过的平面几何的方法就能解决。

在新高考的背景下，立体几何题目的难度也有所提高，不再是固定题型固定套路，这就决定了教师既要钻研教材、课标，也要研究学生。只有把书本知识与学生实际相结合，精心设计教学过程，才能使学生克服学习中的障碍，真正具备空间想象、逻辑推理以及运用图形语言和符号语言进行交流的能力。

【参考文献】

[1]单墫，李善良.高中数学教学参考书·必修第二册[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

【作者简介】

王桂芳（1989～），女，汉族，河南周口人，硕士，中学二级教师。