HPM视角下的函数概念教学设计

钟志华 周美玲 郝蕊

[摘  要] 作为一种重要的教学方法，发生教学法——通常所说的HPM（数学史与数学教育关系）视角下的数学教学方法，不仅可以让学生更好地了解数学知识发展历史和数学家的探索过程，并在这一过程中激发数学学习兴趣、体会数学研究的一般方法，而且还可以为函数这一新知识的学习准确找到认知起点，可以从函数概念产生与发展源头中找到理解函数概念的金钥匙.

[关键词] HPM;函数概念;教学设计

■教材的地位与作用

函数是高中阶段基础而又重要的概念，高中数学中的绝大部分知识都与函数存在密切的关系.如数列、解析几何、统计与概率等知识在某种意义上说，研究的就是函数. 可以说，学好函数是学好整个高中数学的前提.函数这个概念虽然在义务教育八年级（上）就已经学过，但当时对函数的认识主要以直观感性认识为主，函数学习中涉及的诸多相关概念如定义域、值域、对应法则、函数的单调性、奇偶性等都只给予了形象的描述或笼统的介绍，并没有给出严格的定义，甚至连表示这些概念的名词（如表示对应关系符号“f”等）也没有出现.在初中阶段，教材为了便于学生直观理解函数，从运动变化观点出发采用“变量”来定义函数，这对当时的学生来说是合理的.但到了高中阶段，许多函数问题仍然采用“变量”观点来进行研究则会带来许多不便，比如无法对函数的单调性、奇偶性等概念从定量角度进行深入刻画，再比如对一些常值函数、自变量与因变量之间没有明显关系的特殊函数的理解存在困难，等等.另外，从数学知识本身的发展来看，采用“变量”观点研究函数也无法建立严格的数学理论体系.众所周知，现代数学大厦是建立在集合理论基础之上的，函数理论作为现代数学的基础概念之一也不例外.高中数学第一节课就是学习集合，然后马上就学习函数概念，其用意非常明显，就是要在高中阶段向学生逐步渗透集合思想，让学生学会用集合观点来研究数学问题.

分析依据：教材地位分析的本质就是要通过揭示新旧知识之间的联系并为新知识的学习找到恰当的认知起点.而数学史作为教材分析的一个可靠坐标系，它不仅可以为分析者准确了解学习者的认知结构在数学史中所处的地位提供参照，而且可以为教学设计指明方向. 就本节课而言，如果从深入分析函数概念的发展历史来看，就会发现宜将初中所学的“变量定义”作为高中函数概念的认知起点.

■学情分析

从学生生理特点和心理特点来看，高一学生思维活跃、好胜心强、求知欲旺盛，特别是刚刚进入新的群体，对一切都充满了好奇，这是教师教学中可资利用的有利因素;从学生的思维特点来看，这时的学生正处在从形象思维向抽象思维过渡的阶段，学生虽然具有一定的抽象思维能力，但毕竟高中思维方式与初中存在较大差别，许多概念仍然需要借助一定的感性直观才能理解，这是教师在教学中需要引起注意的地方，千万不要过高地估计学生;从学生的知识基础来看，此前学生已在初中阶段学习了函数的有关概念，对函数概念已经有了比较深入的了解，但初中函数研究采用的是变量观点，研究方法主要借助于直观和文字语言，研究对象基本上是简单的代数函数，这一方面为高中函数学习奠定了良好的基础，但另一方面可能会对高中函数概念学习产生负迁移. 在教学中，教师需要扬长避短、因势利导.

分析依据：HPM可以为学情分析提供参照.重演论认为，个体数学理解过程与数学历史发展过程具有相似性.学生的错误和认知障碍与数学史上的错误和认知障碍是有关联的，了解历史上的重要时刻可以为教师提供预测学生认知障碍的工具[1]. 虽然了解学生的学情有很多方法，但HPM是一个不可或缺的方法.翻开函数概念发展历史就会发现“对应”定義的产生曾经经历了相当长的一段时间，这说明函数概念发展的艰巨性，如果教师在进行函数概念教学时能深入研究函数概念发展的这段历史，那么就可以在对学生进行学情分析时真正做到心中有数[2].

■教学目标设计

（1）经历用“集合”语言对初中函数概念中的有关术语进行重新描述的过程，理解用“集合”与“对应”语言刻画函数概念及附属概念.

（2）理解初高中函数概念的区别与联系.

（3）经历从“变量”观点认识函数向“集合”与“对应”观点认识函数的转变过程，学会从不同角度来认识同一事物，培养多角度看问题的习惯.

设计意图：HPM方法不仅可以为教学目标的设计指明方向，而且可以为判断教学目标的合理性提供可靠的标准. 初中主要用文字语言对函数进行定性描述，而高中则采用符号语言对函数进行定量描述;初中函数概念的概括程度低，高中函数概念的概括程度高. 但初中函数概念比较具体、容易理解，而高中函数概念比较抽象、难以理解. 所以在设计教学目标时，教师应将经历用“集合”与“对应”观点认识函数并用相应的语言刻画函数概念及附属概念的过程作为首要教学目标;而初高中函数概念之间的区别与联系直接关系到学生对高中函数概念的理解与否，因此应将该目标作为本节课必须达到的重要目标;目标三虽然不是这一堂课就能实现的，但由于这一目标在本节课中体现得比较充分，它不仅有助于学生更好地了解函数概念的来龙去脉，而且对学生将来的发展也具有深远影响，因此在教学中应给予足够重视.

■教学的重难点

（1）教学重点：学会用“集合”与“对应”观点认识函数并用相应的语言刻画函数[3].

设计意图：从HPM视角来看，教学重点往往是在数学发展历史中具有重要地位的那些知识. 高中函数概念学习中学生存在的最大疑惑是：既然初中已经学过函数，为什么高中还要再学函数？初高中函数概念之间到底存在什么区别与联系？只有把这两个问题真正搞清楚以后，学生才能避免初中函数概念对高中函数概念的负迁移，才能真正理解高中函数概念的本质. 从数学发展历史来看，集合概念的产生不仅使函数概念完全摆脱了经验和直观，而且使函数及建立在函数概念基础上的微积分终于有了坚实的基础. 数学发展历史充分证明了用集合语言刻画函数概念的重要性. 从学生思维发展来看，学会运用“集合”与“对应”观点刻画函数概念不仅有利于学生实现从具象思维向抽象思维的跃迁，而且有利于提升学生的数学抽象等核心素养. 因此，在教学时要把教学重点放在如何引导学生学会用“集合”与“对应”观点认识函数并用相应语言刻画函数，然后在此基础上进一步弄清初高中函数概念之间的区别与联系.

（2）教学难点：如何适应从“变量”观点认识函数向“集合”与“对应”观点认识函数的转变. 具体来说，就是如何用集合语言对初中阶段所学的函数概念中的有关术语进行改造.

设计意图：苏霍姆林斯基认为：“真正能驾驭教学过程的高手，是用学生的眼光来读教科书的.”因此，分析教学难点必须站在学生的角度并以学生的眼光去解读. 而了解学生的难点一方面可以对学生进行调查. 我们曾经通过调查发现，很多高中学生刚学函数时的最大困惑就是“既然初中已经学过函数，为什么高中还要再学函数？”之所以会出现这种现象，是因为初中函数概念在学生头脑中已经根深蒂固，这种思维定式不仅很容易造成对高中函数概念学习的抵制，而且也很容易与高中函数概念产生混淆. 另一方面可以从函数概念的发展历史中去把握.重演论认为，个体数学理解过程与数学历史发展过程具有相似性. 学生的认识论障碍也出现于概念的历史中，故历史不仅有助于确定这些障碍，还有助于克服这些障碍[4]. 从函数概念与集合理论的发展历史来看，函数概念从一开始莱布尼茨把函数看作是随曲线变化而改变的几何量到狄利克雷等人首次提出函数的变量定义，其间经历了一百多年的曲折变化;而集合理论的产生则更加艰辛，不仅产生较晚而且一开始还没有得到人们的认可.因此，如何让学生真正经历用集合语言对初中阶段所学的函数概念中的有关术语进行改造，并在此基础上实现从“变量”观点认识函数向“集合”与“对应”观点认识函数进行转变是本节课的难点.

■教法学法设计

本节课主要采用发生教学法和问题解决教学法.

设计意图：能在数学史上占据一定地位并能流传下来的往往是精品，选择教法、学法可以从HPM中获得启示. 本节课之所以采用发生教学法，主要是考虑到本节课的教学重点是让学生学会用“集合”与“对应”观点认识函数，但为什么以及如何从“变量”观点认识函数向“集合”与“对应”观点认识函数进行转变是学生最感困惑的地方. 采用发生教学法不仅可以让学生在充分了解函数概念产生与演变过程的基础上自然而然地解开以上困惑;而且可以让学生充分感受数学家的研究历程，了解数学研究的一般方法，破除对数学研究的神秘感;同时，还可以让学生深刻认识数学研究的艰巨性和数学发展道路的曲折性，激发学生对数学家的崇敬之情和对数学的探索热情.

在函数概念的探究过程中，教师既要引导学生在回溯函数概念发展历史的基础上意识到初中函数概念的不完善并进而对初中函数概念进行改进，又要引导学生通过初高中函数概念的对比弄清彼此之间的区别与联系，这些都需要教师通过精心设计的“问题串”来循循善诱、步步深入地去探索，而采用问题解决教学法可以很好地实现这一目标.

■教学过程设计

1. 创设情境，引入课题

教师首先通过PPT呈现恩格斯的语录：“数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学.”然后在黑板上板书课题——函数的概念，引出课题并同时提出：

问题1：看到同学们一个个惊讶的表情，你们是不是想说：以前初中学过函数，为什么高中还要学？是不是老师搞错了？

设计意图：HPM不仅可以充分揭示数学知识的来龙去脉，为新知识的生成找到恰当的认知起点，而且可以触发情境创设的灵感. 目前的课本一般是从实际生活来引入函数概念的，但这种引入方法与初中函数概念的引入过程如出一轍，这不仅难以充分激发学生的学习积极性，而且会导致教学偏离本节课的教学重点;李大潜院士认为，数学的发展并不完全依靠实际需求来推动，数学有其自身的能动性，如果一味地强调数学来源于生活，简单地在所有的概念或命题前都机械地装上应用的实例，那么数学教学就会变得庸俗，学生所学的数学知识就会变成用实际生活实例包装的支离破碎的大杂烩. 数学知识之间的来龙去脉和数学美将荡然无存，数学将会变成没有灵魂的僵尸[5]. 事实上，函数概念从其产生与发展历史来看，主要是来自数学自身发展的需要，而不是实际的需要. 因此，通过还原函数概念发展的本来面貌，揭示函数概念产生与演变过程中的内在矛盾来创设教学情境，不仅可以充分激发学生的探究热情，而且可以让学生在经历函数概念演变与发展过程中更好地理解函数概念的来龙去脉及本质属性，提升学生的探究能力.

正是基于以上考虑，在教学时先板书课题“函数的概念”，让学生产生高中怎么又要学习函数概念的疑惑，然后顺势抛出问题1，点出学生心中的困惑，引发学生强烈的好奇心. 当学生将信将疑、急于知其所以然之际，再趁势提出：

问题2：为什么初中学了函数概念高中还要再学？高中学习的函数概念到底与初中学习的函数概念有什么区别与联系？

设计意图：“为什么初中学了函数概念高中还要再学？”“高中学习的函数概念到底与初中学习的函数概念有什么区别与联系？”等问题一直是缠绕学生的心结，也是高中函数教学中无法回避的大问题. 但由于种种原因，很多教师在进行函数概念教学时或浑然不知，或视而不见，或刻意回避，其结果只能“以其昏昏，使人昭昭”，只能靠对概念咬文嚼字的解读和大量的机械训练来弥补这方面的不足，这不仅于事无补，反而会加重学生的负担. 而提出这一问题不仅可以充分揭示学生思维的困惑，找到新知识的生长点，而且可以真正抓住这节课的主要矛盾和教学重点.笔者曾经做了一个简单的调查，在2019年寒假结束前随机抽取了某重点中学高一两个班的学生分别说出（口答）、写出初高中函数的定义，结果每个班约有八成的学生既说不出也写不完整函数的定义，至于说出初高中函数概念之间的区别与联系就更谈不上了，然而有关函数的题目却照做不误.

提出问题2后，教师不要马上给予回答，因为在学生对函数概念发展历史毫无了解的情况下进行解释只能越描越黑. 这里不妨先给学生卖个关子，如通过“如果知道了函数概念的发展历史，你们就可以知道这个问题的答案了”这样悬念巧妙的一句话将学生的兴奋点引导到对函数概念发展史的介绍上来.

研究表明，许多学生之所以对数学存在畏惧，很重要的原因是教师在教学时没有找准学生的认知起点[6]. 美国著名的教育家D.P.奥苏伯尔在其名著《教育心理学——认知观点》的扉页上写道：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将一言以蔽之曰：影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么. 要探明这一点，并应据此进行教学.”杨玉东博士曾经提出：“要以本原性问题来推动数学教学.”数学史是数学知识的根，没有数学史根基的知识往往是苍白的、没有生命力的. 数学史不仅可以充分揭示数学知识的来龙去脉，而且可以为数学知识的探究指明方向. 引领学生共同探究函数概念发展历史可以让学生回归函数概念产生与发展这一认知起点，并从函数概念产生与发展的源头里找到理解函数概念的金钥匙.

对函数概念演变与发展历史的探究既可以采用教师介绍的形式，也可以在教师的指导下让学生检索有关文献自己去发现. 对自主学习能力强的学生可以采用后一种方法. 函数概念演变与发展历史的探索可以紧扣以下历史线索来展开：1694年，莱布尼茨最先从几何角度提出“函数”这一名称来表示那些随曲线的变化而改变的几何量，如曲线上点的坐标、曲线的切线斜率、曲线的曲率半径等;1718年，约翰·伯努利把函数归结为由一个变量和一些常数构成的任何总表达式，虽然对函数的认识还比较局限，但函数概念开始摆脱对几何和直观的依赖而进入了代数，使得利用代数方法处理函数问题成为可能. 此后，欧拉进一步把函数推广到变量和常数的任何方程或公式，使得函数基本上涵盖了初等函数，如大家在初中所学的那些函数. 虽然数学家们已经知道了许多各种各样的具体函数，但函数到底是什么呢？为了回答这个问题，狄利克雷等人深入研究后提出了函数的变量定义：“变量是表示一组数中任何一个数的符号;如果x和y两个变量如此地相关联：只要给x一个值，则依某种规则或对应，自动地规定给y一个值，则我们称y是x的（单值）函数.” 这基本上就是我们在初中阶段所学的函数定义[7].

研究表明，个体的数学学习过程与数学发展之间存在共轭现象. 引领学生穿越数学历史时空，与数学家进行对话，像数学家那样去思考、探究并从中挖掘数学发展过程中的本原性问题，不仅可以培养学生的探究能力与科研素养，而且可以让学生充分感受数学发展脉动，经历数学文化熏陶，这是HPM的灵魂所在.

问题3：还记得初中函数概念是怎样定义的吗？

设计意图：通过数学史引出初中函数概念，由此检验学生对初中函数概念的掌握情况.一般情况下，大部分学生都会记得函数概念，若不记得，教师可以帮学生先复习一下.

虽然，利用变量来定义函数使函数有了统一的定义，但这样的定义存在很多问题，如过于依赖直观和定性认识，无法采用符号语言对函数的单调性、奇偶性等概念进行定量刻画，理论体系不严密，等等.

2. 启发引导，探究新知

问题4：你觉得初中的函数概念严谨吗？如果不严谨，那不严谨在什么地方？假如你是数学家，你会怎么办？？摇？摇？摇

设计意图：由于初中的函数概念太过形象化，教师告知学生这一概念存在问题，让学生自己思考哪里有问题，这样学生才会印象深刻. 而让学生对初中的函数概念提出质疑，一方面可以更自然地引出高中的函数概念，另一方面则可以培养学生善于思考、善于质疑的良好思维品质.当然，对于这一问题，学生回答是存在一定困难的，但这一问题确实是学生想了解的，因此这个问题问得还是很有价值的. 如果学生能有所发现，教师可以在此基础通过下面的问题5至问题7作进一步引导.

基于函数概念演变与发展过程中的矛盾来设计问题，用本原性问题来推动数学教学有利于学生在对函数概念的建构过程中更好地把握函数概念的本质.

问题5：“在某一变化过程中”是指怎样的变化过程？x，y的变化范围在这里有没有指明？

问题6：x→y的对应关系有没有交代出来呢？

问题7：什么叫y随x的变化而变化？你能用更精确的数学语言描述吗？

设计意图：问题5至问题7是问题4的具体化，目的是引导学生去探索初中的函数概念到底有哪些地方陈述模糊、不够严谨. 这三个问题可以同时提出，也可以根据学生的回答情况渐次展开.由于问题比较具体、方向比较明确，学生应该会产生想法或共鸣. 在这里，学生如果能够提出自己的想法甚至解决办法固然很好，如果没有想法也很正常. 这时教师可以进一步提出以下问题.

问题8：那么我们怎么解决以上的问题呢？有没有什么想法？

设计意图：提出这一问题的目的是希望学生能借助上节课刚学的集合概念来对这些比较模糊的术语进行描述，让学生认识到不仅自变量和函数值的变化范围都可以用集合来进行表示，而且x→y的对应关系也可以用数学符号来表示，然后自然而然地引出函数的定义域、值域和对应法则这三个基本要素. 如果学生不能用集合来描述，教师可以启发学生试着联想上节课刚学的集合概念，探索运用集合语言描述x，y变化范围的可能性和优越性. 当学生经过这样的探索以后，教师可以通过“同学们，想不想看看数学家是怎样用集合和对应观点来定义函数的？”来引出函数的概念.

问题9：看了数学家给出的函数概念之后，同学们来比较一下，有哪些地方你们已经想到了，有哪些地方你们还没有想到.

设计意图：将自己的研究成果与数学家的研究进行对比，对学生而言，一方面可以让学生更好地了解自己探索过程中存在的优缺点;另一方面可以让学生更好地了解数学家的研究过程和研究方法;同时还可以让学生充分体验探究的乐趣和成功的喜悦，经历数学文化和数学精神的陶冶，激发学生进一步探究的积极性. 对教师而言，可以从数学发展历史中找到解决数学矛盾、突破教学难点的方法.

3. 引申拓广，巩固新知

提出下列问题并让学生分组讨论.

问题10：同学们再来比较一下初高中函数概念之间有什么区别与联系.

设计意图：俗话说，有比较才有鉴别.高中学生学习函数概念遇到的最大困难是难以搞清初高中函数概念之间到底有何区别与联系，这是导致许多函数错题的根源所在. 通过比较不仅可以加深对函数概念的理解，而且还可以优化认知结构.

小组讨论以后，先请每个小组派出代表发言，然后教师总结，列出表1.

4. 课堂小结，梳理新知

先提出问题11：本节课有怎样的收获？

然后引导学生从函数的发展历史、数学家研究函数的方法、函数的三要素、初高中函数概念之间的异同点等方面对本节课所学的知识进行反思总结.

设计意图：提出“你有怎样的收获？”这一问题，不仅可以让学生系统回顾函数发展历史及本节课研究函数的思路，而且可以让学生系统掌握本节课的数学知识，同时还有助于学生了解联系、比较等科学研究的一般方法，培养从不同角度看问题的习惯.

参考文献：

[1]  汪晓勤. HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2018.

[2]  欧几里得. 几何原本[M]. 北京：人民日报出版社，2005.

[3]  人民教育出版社等. 数学必修1，教师教学用书[M]. 北京：人民教育出版社，2012.

[4]  汪曉勤. HPM：数学史与数学教育[M]. 北京：科学出版社，2018.

[5]  李大潜. 关于数学基础教育课程改革的一些建议（征求意见稿）[M]. 内部资料，2017.

[6]  汪晓勤. HPM：数学史与数学教育[M]. 北京：科学出版社，2018.

[7]  [美]霍华德·伊夫斯著. 数学史概论[M]. 欧阳绛译. 太原：山西经济出版社，1993.