函数在高等数学教学中的应用

张 学 福

（河西学院数学与统计学院，甘肃 张掖 734000）

在概率统计和工程技术中，经常遇到下述形式的含有参数α 的广义积分

可以证明，当α ＞0 时，该积分收敛，积分值随α 的变化而变化，称之为Γ 函数［1］，记作Γ(α)，即

此函数的学习和在概率统计及工程技术中的应用，教学中受知识梯度和认知水平的影响，一般安排在一元函数的广义积分计算、极坐标下二重积分的计算和概率统计教学中分别进行.受教学时间跨度长、知识点零散、衔接不紧密等影响，在知识掌握和应用上显得系统性不强、效果不佳.所以有必要对其性质和重要结论以及各种应用作以归纳总结，使其零散的教学内容系统完整，分段掌握的知识能够形成一个整体，同时展示Γ 函数在概率统计和工程技术中的应用和彰显Γ 函数计算一类反常积分方便、快捷的优势.

1 Γ 函数收敛性

2 Γ 函数性质

2.1 递推公式

Γ(α+1)=αΓ(α)(α ＞0)，由分部积分法容易得到

一般地，对任何正整数n，有

因此，Γ 函数可以看成是阶乘n!的推广.

2.2 当α →0+时，Γ(α)→+∞. （Γ 函数在α ＞0 时连续）

2.3 余元公式［2］

在Γ 函数的定义式中，令x=t2，则有

3 Γ 函数的应用

3.1 计算反常积分

等等.

3.2 计算概率论中随机变量分布中参数、数学期望及方差

例1 设随机变量X 服从麦克斯韦分布［4］，其密度函数为

解 由概率密度函数的性质知

代入已知条件得

其中σ ＞0 是常数，求E(x)和D(x).

3.3 数理统计的几个常用分布中的应用

（1） χ2分布

设n 个随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且都服从标准正态分布，可以证明函数

的概率密度为以上三种分布中的概率密度所含的广义积分都可归结为Γ 函数的计算.