谈在数学教学中对学生合理运算能力的培养

何瑞卿 张金锋

摘要：当前高中生的运算能力已经成为影响其成绩的重要因素，培养学生的合理化运算能力势在必行。本文针对当前高中生数学运算所面临的问题，从教材上的一道习题出发，分析并探讨了培养学生合理运算能力的方法。

关键词：数学教学；合理运算能力；学生

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）07-0086

2017版的《数学课程标准》明确将数学运算作为六大核心素养之一考查。教育部考试中心研究员任子朝先生在《高考能力考查与内容改革创新研究》一文中就指出：“运算量的大小以40%的考生在120分钟内能完成全卷的解答为标准。”在各级各类考试中，学生的运算错误而失分的现象极其普遍，但学生往往将之归因为“粗心”“失误”，并不认为运算出错是其运算能力水平低下，思想上不够重视引起的。

一、当前高中数学运算面临的问题

1.当前初中数学课程弱化了运算能力要求，删减掉了十字相乘法、立方和、立方差等乘法公式，弱化了因式分解、代数的恒等变形、二次根式的化简、分式的运算，造成初高中衔接不上。而在整个高中阶段，这些内容又是频繁出现的数学运算。

2.学生在运算过程中不能合理地选择运算方法、合理地运用运算法则，不能根据问题特征形成合适的运算思路，只顾机械地套用运算公式。

二、运算合理性的研究

2017版普通《数学课程标准》指出数学运算素养是指会根据法则、公式及其适用范围，进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题分析运算条件、探究运算方向、选择合理的运算公式，在实施运算过程中遇到障碍而调整运算程序，解决问题。这其中运算的合理性是运算素养的核心，一般一个较复杂的运算，往往是由多个运算组合而成的。如何合理地确定运算目标，设计运算程序、选择运算途径，并将各部分有机地联系在一起，這是运算合理性的主要标志。接下来就从一道课本题说起。

案例：高一数学必修二《直线与圆的位置关系》这节课，数学教师都认为能把这堂课讲好，但是当堂练习时，想不到学生做得参差不齐。这道题是数学课本上的一道题，题目是这样的：“判断直线4x？3y = 50与圆x2+ y2= 100的位置关系。如果有公共点，求出公共点的坐标。”能做对的学生很少，教师十分惊讶。后来，和同行们以这道题为出发点进行了探讨，并得出一些感悟。

1.试题解读

解答这道题时，学生已学过了圆的方程，直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离公式，这都是做这道题所要用的知识。经过分析，解答这道题的关键有两点：（1）确定圆和直线的位置关系；（2）解出圆与直线的公共点。

要突破第一点共有两种解法：①将圆和直线的方程进行联立，解方程组；②算出直线到圆心之间的距离d，通过d与圆的半径r的大小关系，从而判断出圆与直线的位置关系。要突破第二点的常规作法就是解方程组，所以，学生能想到解方程组的做法，不但能突破第一点而且能突破第二点。但学生的现状是，很多学生的方程组解错或算到中途进行不下去，原因是方程组联立后，整个方程看起来较为复杂，并且计算量大，极易解错。

2.详细做法

法二：图形法。先算出直线到圆心的距离，从而确定线与圆的位置关系是相切的，由初中圆的性质：“切点和圆心的连线垂直于切线”，再根据“若两直线垂直，则斜率之积为-1”，得出切点与圆心连线所在方程。这样一来，联立直线方程与圆的方程就转变为联立切线方程与直线的方程，计算量会减少很多。此法用了数形结合这一重要数学思想，虽然没有法一好列式，但计算量小，学生出错概率会大大减小。

法三：三角换元。对于圆的方程，可令x = 10cosα，y=10sinα代入直线方程，得出一组解从而确定圆与直线相切。此法要用到参数方程，辅助角公式等三角知识，高一上期还没有学到这些，可在高三时再讲该题时使用此法。

三、一些感悟

1.备好课，具体到该堂课所涉及的题目

教师在备课时往往注重知识点的讲解，不注重习题的运算，所以在备课时，凡是在本课中要求学生做的作业、练习等，自己要先认真演算，从而确定题目的最优解法，再渗透到讲课过程中。

2.重视类题通法，使学生会照葫芦画瓢

数学课中知识点的讲解很重要，把知识运用到解题中的教学同等重要，对数学的检测最终都是通过做题考查的。我们不提倡题海战术，但为了适应当前的教育现状，应该在讲课过程中适当地对学生进行计算指导。

本题讲过后，可以把直线方程和圆的方程进行改写，让学生在做同类型题时，感到跨度不大，从而使学生在解答时树立信心，使其计算能力不断提高。

3.重视一道题的多种解法，使学生思维开阔，从而选取最优解法

一道题思考用多种解法可以有效培养学生的创新思维能力。在这道题中，法一是最容易想出的方法，但计算烦琐，容易无疾而终，若具有多种解题思路，就可能变换其他方法，而不是只会硬算。

4.重视解题教学，使学生具有必备的运算技能

法一中，若学生会整体代入，将直线方程和圆的方程同时变形，就不会使计算陷入泥沼，无法自拔。

5.引导学生时常在题目完成后进行反思

学生在做题时，常会因看不清题，定义理解得含糊不清，对有的条件视而不见，思考问题不全面，简单计算出现错误等问题，导致不能将题目完全做对。所以在题目完成后，必须和学生一起对做题过程进行反思，吸取教训，总结经验。

在培养学生合理化运算的教学中，教师可以介绍一些名家、大师的解题理论，陪着学生进行详细演算。例如：将大数学家波利亚的解题四步骤介绍给学生，即：（1）理解问题；（2）制订计划；（3）执行计划；（4）回顾检验。波利亚的解题方法可以培养学生有意识地选取最优的解题方法。

（作者单位：河南省三门峡市陕州区第二高级中学472001）