试解“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷第21题

摘 要：“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷第21题属于统计与概率在生物学中的应用性问题，第（2）问的解答，可讨论所给方程实数根的大小，也可构造函数，将方程的根转化为函数的零点，讨论零点的大小，找到最小正实根.

关键词：全国卷;新高考;统计;概率

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0058-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：汪继波（1968.10-），男，重庆市长寿区人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷（海南、辽宁、重庆）第21题：

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（x=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p=1，当E（x）>1时，p<1;

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

本题第（1）、第（3）问较易回答，此处不予讨论，在此仅讨论第（2）问：

求解想法 此问关键在于找到这个关于x的三次方程的最小正实根，于是，可以考虑求出它的根（至多3个实数根），进行比较，但纵观全国高考题的特点，直接求出此方程的所有实数根，并非易事！这一来，解题者应有心理准备，讨论方程根的特点，比较大小，找到最小正实根，可尝试通过分解因式能否找到几个根，余下根可根据限定条件，缩小其取值范围，进而比较方程根的大小;也可以考虑构造三次函……