借助外接圆模型解决一类解三角形的最值问题

山东省滨州市邹平县黄山中学 (256200) 韩景岗

广东省佛山市顺德区容山中学 (528303) 潘敬贞

广东省汕头市澄海华侨中学 (515800) 张应楷

在解三角形问题中，经常会遇到一类定长对定角的三角形(或是四边形)求其边长或面积的最大值问题.解决此类问题的一般方法主要是综合运用正弦定理与余弦定理实现边角互化，结合三角形内角和定理，利用三角函数的单调性求最值.这样做，过程往往比较复杂冗长，如能用好给定三角形的外接圆并结合其几何性质来处理，问题解决往往事半功倍，既能有效减少运算量，也能够将抽象的问题直观化，复杂的问题简单化.文章结合具体实例谈外接圆在解三角形最值问题中的实际运用，形成一类解三角形最值问题的模式化解题方法.

一、三角形周长的最值问题

图1

评注：本题如果采用常规的代数运算，需要利用正弦定理进行边化角，然后进行三角恒等变换，最后通过确定角的范围利用三角函数的单调性求出其范围；但是过程较复杂，并且对运算能力要求较高；也可以利用余弦定理与基本不等式得到一个最值，但是另一个临界值比较难得到.如果能根据已知条件确定三角形的外接圆，便可通过直观观察外接圆上动点A的变化规律找到临界位置，从而得出结果.

图2

评注：借助外接圆突出几何直观，可以有效避免复杂的代数运算与逻辑推理过程，既体现了数形结合的思想，又能在问题解决的过程中……