一道2019年全国高中数学联赛预赛题的推广

江苏省姜堰中等专业学校 (225500) 包长海 陈 宇

(2019年全国高中数学联赛四川赛区预赛第9题 )设点A(0，3)，⊙O：x2+y2=25上的两动点B,C，满足∠BAC=90°.求△ABC面积的最大值.

该赛题实际是从解析几何角度探究：当圆内角为定角，其顶点在圆的一条直径上(不含端点，圆心)，两边与圆相交，由此所得三角形面积最大值.经过探究，由该赛题可得：

推广1 设点A(0，a)(0

笔者将运用平几定理，基本不等式，及解析法求解这道题.

图1

评注：(1)当a=3,r=5时，即为原赛题.

图2

注：当|AB|=|AC|时，可得P为BC中点.

此结论具有一般性.是推广1以下几种解法的逻辑依据.

图3

推广2 设点A(0，a)(0

图4