2021年八省模考数学解几压轴题的解法探究

广东省中山市濠头中学 (528437) 张 宇

1.试题呈现

2.解法探究

评注：此证明用正切函数折定义，然后由正切函数的二倍角公式，思路清晰，是绝大多数学生所采用的方法.

(1)当BF⊥AF时，结论显然成立.

评注：这里从斜率入手进行证明，本质上和证法1没有太大的差别，思路比较清晰，很多学生采用了这种证明方法.

评注：运用角平分线上的点到两边的距离相等进行证明，还用到了垂直平分线的知识.这种证明初中学生都能理解.同时用到了点到直线的距离公式，是一种不错的证明方法.

评注：运用余弦定理验证cos∠BAM=cos∠BMN，对学生的运算能力要求较高，不过和以前的解析几何压轴题的运算量相比，这个就显得特别简单了.

评注：用初中的角平分线性质定理进行证明，初中学生都可以理解，作为高考模拟题中的压轴题，有点名不符实，现在初中对平面几何要求较低，这是一件比较遗憾的事.对培养学生的逻辑思维能力造成一些不利影响.

评注：回归到本质的定义中去，用正弦的二倍角公式，也是容易想到的方法，作为有现成结论的问题.教师在教学中加强对学生进行发散思维的训练，进行一题多解是不错的选择.

3.试题探源

此题的原形在以前的竞赛及自主招生试题中多次出现.试题原形在2010年福建高中数学预赛试题和2014年甘肃高中数学竞赛预赛试题中两次出现.另一原形题在2011年华约自主招生试题的第13题出现.

(1)求双曲线的方程；

(2)设Q为双曲线C右支上动点，F为双曲线右焦点，在x轴负半轴上是否存在定点M,使得∠QFM=2∠QMF？……