求直线方程设法有技巧

甘肃省康县教育局教研室 杜红全 746500

山东省潍坊市育才学校 黄海虹 261031

直线方程是高中数学的重要内容之一，在高考试题中主要是以直线方程为载体，与其他知识交汇进行综合考查，但其中经常会涉及到求直线方程.已知两个独立条件可求出直线方程，根据所给的条件不同，求直线的方法也不同.下面举例说明求直线方程常用的设法技巧，供参考.

1 已知斜率为k，可设其方程为斜截式y=kx+b

点评：本题主要考查的是求直线方程，求解本题的关键是利用方程的数学思想，根据已知条件列出关于b的方程即可；需要注意的是斜截式不含垂直于x轴的直线.

2 已知过点(x0,y0)，且斜率存在，可设其方程为点斜式y-y0=k(x-x0)

例2 已知直线l过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.

点评：本题主要考查的是求直线方程，求解本题的关键是设出所求的方程为点斜式，根据已知条件列出关于k的方程即可；当直线的斜率不存在时，直线的方程是x=x0；当然本题也可以用截距式求解；需要注意的是点斜式不含垂直于x轴的直线.

3 与截距相关，可设截距式

例3同例2

综上所述，所求直线l的方程为x+y-5=0，或3x-2y=0.

点评：设直线截距式方程的前提是截距不为0，即不含垂直于坐标轴和过原点的直线.本题容易丢解3x-2y=0，需要特别注意.

4 过两点(x1,y1)，(x2,y2)（x1≠x2，y1≠y2）的直线方程可设为

例4 已知三角形三个顶点分别为A(2,1)，B(-2,3)，C(6,-7)，求AC边上的中线所在的直线的方程.

点评：本题考查的是中点坐标公式、两点式直线方程的应用；需要注意的是两点式不含垂直于坐标轴的直线，所以在利用两点式求解直线方程时，一定要注意首先判断是否满足两点式方程的适用条件；两点式方程与两点的顺序无关.

5 与直线l：Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)

例5 过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）.

A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0

C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

解：与直线x-2y-2=0平行的直线方程可设为x-2y+C=0，将点(1,0)代入解得C=-1，所以所求的直线方程为x-2y-1=0.故选A.

点评：本题主要考查的是两直线平行的相关知识及求直线方程，是利用平行直线系方程求解，当然也可以利用两直线平行，则斜率相等，求出被求直线的斜率，然后用点斜式求解，显然利用平行直线系方程求解简单.

6 与直线l：Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C1=0

例6 直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，直线l的方程是（）.

A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0

C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0

解：因为直线l与直线2x-3y+4=0垂直，所以可设直线l的方程为3x+2y+m=0.又因为直线l过点(-1,2)，代入得3×(-1)+2×2+m=0，解得m=-1.所以直线l的方程为3x+2y-1=0.故选A.

点评：本题主要考查的是两直线垂直的相关知识及求直线方程，是利用垂直直线系方程求解，当然也可以利用两直线垂直，则两直线斜率的积等于-1，求出被求直线的斜率，然后用点斜式求解，显然利用垂直直线系方程求解简单.

7 过直线 l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含l2)

例7 求过两直线2x-3y-1=0，3x+2y-2=0的交点且平行于直线3x+y=0的直线方程.

点评：本题是利用过两条直线交点的直线系方程求解，也可以根据已知条件求出交点和斜率，然后利用点斜式写出直线方程.