基于样条理论的自动入库泊车鲸鱼优化算法

陈 艳

(池州学院 机电工程学院，安徽 池州 247000)

自动入库泊车系统是汽车里不可缺少的重要系统，以保证入库泊车满足安全、舒适、迅速、准确停车等优化控制指标，其轨迹优化器应当具备强大的泊车轨迹优化性能，从而能够提供无避碰、精确的自动入库泊车轨迹曲线[1]。为提升入库泊车系统的控制性能，已经有大量的研究应用于实际的入库泊车实际问题中。针对链式系统，LIU K等提出了一种指数型全局收敛到任意给定范数界(epsilon收敛)的控制算法，并将其应用于自动停车系统[2]。LIU H等提出了一种基于两轮驱动车轮速度传感器的自适应鲁棒四轮计算定位方法，并应用于自动停车系统中[3]。赵林峰等提出了一种基于自抗扰控制的自动泊车路径跟踪[4]。入库泊车轨迹往往通过智能算法进行优化得到。鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm, WOA)是一种具有较好的全局寻优性能的智能算法。美中不足的是其在迭代优化后期阶段，存在收敛性能差，会导致陷入局部最优的可能[5]。为提高鲸鱼优化算法的全局收敛性能，以泊车轨迹最短为目标，结合样条理论，对现有的鲸鱼优化算法进行了改进。首先在非线性递减的收敛策略基础上引入变速率调整因子，以此增强收敛性能和提高收敛速度，然后采用基于sigmoid函数的变异概率用以改善算法全局收敛性能。最后采用验证函数和自动泊车实际轨迹优化问题进行仿真验证，来对比不同优化算法性能。结果表明，本文改进算法具有更强的寻优能力。

1 基于样条理论的自动入库泊车优化模型

1.1 智能自动入库泊车系统

本文以一种常见的智能汽车自动倒车入库方式为例，其具体的智能汽车自动倒车入库示意图(见图1)。

图1 倒车入库示意图

图1中，停车位已知，停车位的车库边线和库角清晰可辨识，车辆初始位于起步区并拟定停车入库于目标区，此时，自动入库泊车系统立即采集得到自动入库所需的相关信息，并据此判断是否具备入库泊车的条件，在具备停车条件的前提下，依据采集得到的相关信息，结合自动入库泊车路径轨迹规划方法合理规划得到泊车轨迹并引导车辆泊车于目标区。

智能自动入库泊车系统由泊车优化数据采集装置、轨迹优化器及其轨迹优化辅助程序、泊车跟踪控制器、泊车可行性判定器、紧急驻停器、泊车停止器等构成，其核心功能是能准确检验入库泊车，且在入库泊车可行性满足的条件下给出无避碰、轨迹光滑且尽可能短的泊车轨迹并实施入库泊车。智能自动入库泊车系统设计中，需要考虑实际自动入库泊车流程的各个环节。具体的智能自动入库泊车流程系统设计图(见图2)。

图2 智能自动入库泊车流程系统设计图

综上可知，自动入库泊车轨迹优化是实现无避碰、泊车运行轨迹光滑且尽可能短距离泊车的自动泊车的重要前提条件。

1.2 三次样条理论

样条理论始于20世纪60年代，放样工人参照固定的曲线函数表，使用压铁将有弹性的细长木条固定于几个相近的点上，而其它位置使其自由弯曲，其形成的曲线便称之为样条曲线。三次样条插值函数因其具有函数曲线光滑且较容易拟合计算等优点，故适宜于自动入库泊车轨迹优化。

三次样条插值函数的定义如下：

(x0,x1,…,xn)是已知区间Δ=[a,b]内的n+1个插值点。若插值函数s(x)满足下述两个条件，则称s(x)是对应于区间Δ上的三次样条插值函数[7]。

s(x)在任意子区间[xi,xi+1],i∈[0,1,2,...,n]上是三次多项式，具体的三次多项式如公式(1)所述：

(1)

s(x)及其导函数s′(x)在区间Δ=[a,b]上连续。其中，(x0,x1,…,xn)被称为插值点，(a0,a1,…,an)、(b0,b1,…,bn)、(c0,c1,…,cn)和(d0,d1,…,dn)为三次样条插值分段函数的多项式系数。

1.3 基于样条理论的自动入库泊车轨迹优化模型

针对智能自动入库泊车应当在满足入库泊车可行性条件下给出无避碰、轨迹光滑且轨迹长度尽可能短的自动泊车轨迹。本文给出了基于样条理论的自动入库泊车轨迹优化模型。

(2)

其中，Pg(i)—第i个车库碰撞检测点的位置；

Ωg—库边线，∀Pg(i)∈Ωg；

Nt—时间周期集合，含nt个不同的时间周期，分别记为1,2,…,it,…,Nt；

Ωc,it—第it个时间周期下的车辆覆盖区域，因车辆不能碰撞库边线，因此∀Pg(i)∉Ωc,it；

Ng—车库碰撞检测点集合，含ng个不同的测试点，分别记为1,2,…,i,…,ng；

L—泊车轨迹长度，它应当是泊车速度v(t)对泊车时间t的定积分(从0时刻泊车开始至Tmax时刻泊车结束)，约等于全部时间周期下泊车间隔距离的和值；

ΔLmax—允许的泊车间隔距离的最大值，为使得泊车轨迹光滑，需使得泊车轨迹曲线可导，也即令任意时间周期下，泊车间隔距离不能小于所允许的最大值；

LTX,Y—由X轴和Y轴构成的平面坐标系下的泊车轨迹，采用三次样条函数s(p1,p2,…,pns)拟合，其中，P={p1,p2,…,pns}为泊车轨迹参考点集，是决策变量，含ns个不同的泊车轨迹参考点。

由式(2)可知，基于样条理论的自动入库泊车轨迹优化模型，在无避碰、轨迹光滑的约束下，寻到一组使得泊车轨迹L尽可能短的泊车轨迹参考点集P。然而，由于上述模型是一个非线性的、约束条件苛刻的、不易用常规解析方法求解的极其复杂的优化模型。对于这种复杂的优化问题，智能优化算法更具有计算精度和速度方面的优势，其中鲸鱼优化算法具有极高的优化效率。为求得更好的泊车轨迹，本文结合样条理论提出了一种改进的鲸鱼优化算法。

2 改进的鲸鱼优化算法

2.1 基本鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法主要包括包围猎物、气泡网螺旋狩猎和随机搜索猎物三个行为阶段。基本鲸鱼优化算法的位置更新公式可以描述为[6]：

(3)

其中，X*(t)—当前最优解(猎物)位置向量；

Dp=|X*(t)-X(t)|—鲸鱼X(t)与最优解X*(t)之间的距离；

p—鲸鱼的阶段行为选择概率，p∈[0,1]；

ps—鲸鱼选择进行包围猎物阶段行为的概率，ps∈[0,1]，取值为0.6；

1-ps—鲸鱼选择进行气泡网螺旋狩猎阶段行为的概率；

b—螺旋的形状，取1；l—(-1,1)范围的随机数；

t—当前的优化迭代次数；

A和C相关系数的计算见式(4)—(6)。

a=2-2×t/Tmax

(4)

A=2a×r1-a

(5)

C=2×r2

(6)

式中，a—收敛因子；A和C—相关系数；r1、r2—(0,1)中的随机数；Tmax—最大优化迭代次数。

鲸鱼选择进行随机搜索猎物阶段行为时，首先随机选择一个搜索领导个体Xrand，式(7)—(8)为D和X(t+1)的更新计算。式(8)中，Xrand是随机选择的一个搜索领导个体的初始位置向量。

D=|CXrand-X(t)|

(7)

X(t+1)=Xrand-A·D

(8)

鲸鱼优化算法归纳为以下6个步骤，从而达到全局寻优。

①初始化鲸鱼种群，赋值参数。

②设定ps的值，随机产生概率p，当p

③计算A，当A<1时,进行包围猎物阶段行为，更新其它鲸鱼的位置X(t+1)=X*-A·D，转向步骤⑥；当A≥1时,进行随机搜索猎物阶段行为，转向步骤④。

④随机选择一个搜索领导个体Xrand，更新各个鲸鱼的位置X(t+1)=Xrand-A·D，转向步骤⑥。

⑤当p≥ps时，鲸鱼优化算法进行气泡网螺旋狩猎阶段行为，鲸鱼的位置更新按照X(t+1)=X*(t)+DP·ebl·cos(2πl)进行，转步骤⑥。

⑥判断是否达到最大迭代次数，若到达最大迭代次数则算法结束，否转向步骤②。

2.2 变速率调整收敛因子非线性递减

由公式(4)可知，收敛因子a的数值由2线性递减至0。由鲸鱼觅食的原理可知，收敛因子a在觅食(迭代计算)的初期取较大的值以提升收敛速度；而在觅食(迭代计算)的末期，取较小的值以提高收敛精度。然而如果收敛因子a呈相对固定的线性递减，则影响算法的收敛速度和收敛精度[8]。为此，本文将变速率调整因子β和非线性递减余弦函数结合作为收敛因子a。

(9)

式(9)中，β—变速率调整因子，调整收敛因子a随着迭代次数余弦下降的速率。

采用上述策略，能够使得收敛因子a在整个迭代周期呈非线性递减。变速率调整的收敛因子a和进化代数t的关系曲线(见图3)。

图3 a—t的关系曲线

由图3可知，在迭代过程，收敛因子a余弦递减，其在迭代初期下降速率较慢，迭代后期下降速率较快。迭代时，不同的变速率调整因子β导致收敛因子a递减速率不同。因此，可以依据不同优化问题的自身特性，选择合适的变速率调整因子β。这种变速率调整策略可以使收敛因子的速率在整个迭代过程中具有显著的差异，不仅可以满足算法的收敛速度，还可以达到增强算法全局收敛性能，避免陷入局部收敛。

2.3 基于sigmoid函数的自适应变异概率

(10)

式(10)中，pm—变异概率的最终值，取0.2；ap—形状因子，取5；

pm-max—变异概率的最大值；

Ns—鲸鱼种群分界点，取0.8；

fit(x)′—鲸鱼种群中鲸鱼个体x的适应度函数值fit(x)的归一化值。

由公式(10)可知，自适应变异概率值随着鲸鱼个体的适应函数值的归一化值fit(x)′非线性的递减。自适应变异概率值pm和鲸鱼种群中鲸鱼个体x的适应度函数的归一化值fit(x)′的关系曲线(见图4)。

图4 pm—fit(x)′关系曲线

由图4可知，采用上述自适应变异策略下，对于整个鲸鱼种群，可以实现适应度函数值大的鲸鱼个体施加以较小的变异概率，以此保留优势精英个体。同时适应度函数值小的鲸鱼个体施加较大的变异概率，实现劣势个体充分变异进化以增强鲸鱼种群多样性，提升个体的搜寻能力。这里鲸鱼个体适应度函数值在平均值以下(fit(x)′<0.5)的给予施加较高的变异概率(>0.15)，而本文给出的随着适应度函数值非线性递减的自适应变异概率值，既防止了优势精英个体统治种群，又使得劣势个体具有一定的变异进化机会。

3 仿真实验

3.1 验证函数的仿真

本文采用3种验证函数，即单目标函数(Schaffer)、双目标函数(ZDT1)和三目标函数(DTLZ1)，对本文提出的鲸鱼优化改进算法(improved whale optimization algorithm, IWOA)、混沌鲸鱼优化算法(chaotic whale optimization algorithm, CWOA)[9]和基于分解的多目标进化算法(multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition, MOEA/D)[10]3种不同的优化算法进行仿真对比。本文提出的鲸鱼优化改进算法的具体参数设置如下：鲸鱼种群规模N取值为50，迭代次数d取值为100，鲸鱼选择进行包围猎物阶段的概率Ps取值为0.6，螺旋形状常数b取值为1，变速率调整因子β取值为-0.1，变异概率最大值Pm-max取值为0.2，自适应变异概率形状因子ap取值为5，鲸鱼种群分界点NS取值为0.8。

对于单目标验证函数schaffer，本文采用其最优解函数值作为适应度函数值。最优解函数值与真实最优解越接近，则表明优化算法的优化性能越好。对于双目标验证函数ZDT1和三目标验证函数DTLZ1，本文采用反向世代距离(IGD)作为适应度函数值。IGD值越低，则表明优化算法的收敛性能越好，获得的最优化前沿越接近于真实最优前沿，IGD值的计算公式(13)所述。

(13)

式(13)中，Q—均匀分布在真实最优前沿的pareto面上的采样数据点集合；

Q′—待验证算法计算得到的最优化前沿的近似pareto解集；

d(Qip,Q′)—第ip个采样数据点Qip与Q′之间最小的距离，|Q|为Q的规模。

以下是具体的仿真对比结果：

(1) Schaffer函数

图5 Schaffer函数仿真验证寻优曲线

表1 Schaffer函数仿真寻优结果

由图5和表1可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最优。函数最优解为(x1,x2)=(4.2×10-4,4.8×10-4)；最优解函数值为：F(x1,x2)=6.4×10-4。

(2)ZDT1函数

图6 ZDT1函数仿真测试寻优曲线

表2 ZDT1函数和DTLZ1函数仿真寻优结果

由图6和表2可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最优。仿真验证寻优得到的最优IGD值为6.57×10-4。

(3)DTLZ1函数

图7 DTLZ1函数的仿真验证寻优曲线

由图7可知，相比其它算法，本文提出的IWOA最优，仿真验证寻优得到的最优IGD值为1.17×10-3。

3.2 基于样条理论的自动入库泊车matlab2016b实验平台的实验验证

本文采用基于matlab2016b平台实现自动入库泊车轨迹优化，并采用基于visual studio的监控平台来监测自动入库泊车轨迹优化的全过程，其间通讯用VC++来构建。本文将泊车轨迹优化环境及其监控环境集成于一台笔记本计算机中，采用VC++6.0编写的模拟串口通信器进行通讯，通讯介质采用office excel。主要参数配置如下所述：泊车优化数据模拟采集的限制时间为4 s，泊车可行性模拟判断限制时间为1.5 s，泊车轨迹优化模拟计算限制时间为10.5 s，泊车跟踪模拟控制限制时间为30 s，紧急停止模拟计算的限制时间为0.2 s，泊车停止模拟计算限制时间为1 s，驾驶员提示器模拟反应限制时间为0.05 s，求解三次样条插值函数多项式系数的功能函数为spline，求解泊车轨迹曲线长度方法为积分拟合法，控制周期为1 000 μs。

以尺寸为5.0 m×2.5 m(长×宽)的停车位和尺寸为3.4 m×1.7 m(长×宽)的车辆覆盖区域为试验对象，轨迹优化方法分别采用IWOA、CWOA和MOEA/D，跟踪控制算法均采用模糊预测控制算法，车辆覆盖区域与库边近角点的水平距离均为2.2 m，车辆覆盖区域与库边线的距离分别为1 m和0.8 m。对于所述的仿真条件，具体的自动入库泊车跟踪控制轨迹曲线与示意情况及其相关结果(见图8—9)和(见表3—4)。在图8中，车辆覆盖区域与库边线的距离为1 m。图9为车辆覆盖区域与库边线距离为0.8 m。在图8—9中，车库角点A为表4—5中参考点集的坐标原点，以水平方向为横轴，以竖直方向为纵轴。

图8 自动入库泊车跟踪控制轨迹曲线仿真图(1 m)

图9 自动入库泊车跟踪控制轨迹曲线仿真图(0.8 m)

表3 自动入库泊车跟踪控制相关结果

表4 自动入库泊车跟踪控制相关结果

由(图8—9)，(表4—5)可知，相比于MOEA/D和CWOA，尽管均保证在泊车运行过程中车辆与库边线无避碰风险，但采用IWOA所获得的自动入库泊车跟踪控制轨迹更加平滑且泊车轨迹长度更短。这表明本文提出的IWOA具有更强的优化性能，从而能够寻优得到更理想的泊车轨迹，更有助于智能汽车自动入库泊车，所获得的入库泊车跟踪控制效果更佳。

4 结 论

针对传统优化算法具有的收敛速度慢、易于陷入局部最优等问题，结合三次样条理论，构建了一种自动入库泊车优化模型。本文先在非线性递减的收敛策略基础上引入变速率调整因子β，通过β的自适应调整，增强收敛性能和提高收敛速度；然后采用自适应变异概率用以改善算法全局收敛性能。利用验证函数测试和自动入库泊车实际问题的仿真验证结果表明，本文提出的改进算法具有更强的全局搜索能力和较快的收敛速度，能够较好地应用于自动入库泊车轨迹优化。