深度学习视角下数学关键性概念的教学探索

张琪 虞秀云

[摘  要] 数学概念反映了现实世界空间形式和数量关系的本质属性，是培养学生数学素养的重要内容. 文章基于深度学习理论，以向量概念的教学为例，探索如何实现数学概念的深度学习.

[关键词] 数学概念;深度学习;平面向量;教学设计

在高中数学中，有很多关键性的概念，如集合、函数、向量、复数等，它们是存在于人类思维中的抽象物，蕴含着丰富的数学思想和方法，是把握数学本质、启发学生高阶思维的重要载体. 但在当前的数学教学中，机械的、死记硬背的概念学习带来的只是碎片化、孤立的浅层知识. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质[1]. 在这一背景下，数学教学有必要从浅层学习向深度学习转变. 本文就深度学习如何落实到向量概念教学中进行了初步探索.

数学概念的深度学习

数学概念构成了学科的骨架，高度凝练出数学知识的本质，这决定了数学概念需要学生进行深度学习. 正如黎加厚教授指出：深度学习意味着理解与批判、联系与构建、迁移与应用[2]. 笔者认为，指向数学概念的深度学习也有以下特征：（1）批判性地理解复杂的数学概念，体验概念形成过程;（2）关注概念间的相互联系，建构完整的知识结构体系;（3）面向问题解决，实现迁移应用.

“平面向量的概念”教学设计

“从位移、速度、力到向量”选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修4）》（北京师范大学出版社，2004）第二章第1节.

1. 内容解析，解读教材本质

向量的概念是平面向量这一章的起始课，更是研究向量的出发点. 作为高中数学重要概念之一，向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，兼有“数”“形”的双重属性，为学生开拓了研究数学问题的新思路. 但是，作为数学思维的对象，向量“脱离”了现实世界，学生往往对向量的性质、零向量、自由向量等人为规定感到困惑. 因此，教学设计将围绕“向量是什么”“向量是如何抽象得到的”“类比数的学习思路，我们如何研究向量”这三个问题，帮助学生深入理解概念的本质属性.

2. 学情分析，关注知识起点

学生不是空着脑袋进入课堂的，让原有知识结构成为新知的“生长点”，教学可以事半功倍. 对于向量概念的学习，可以类比数的抽象、有理数、实数等学习内容，体会概念学习的基本思路，有序展开平面向量的学习. 对于本节内容，学生新旧知识的联系如图1所示.

3. 教学过程

（1）创设情境，亲历抽象过程.

视频播放：射击运动员射击比赛（如圖2）.

问题1：射击运动员射中靶子的过程中涉及了物理中的哪些量？

问题2：力和位移是物理中的量，它们有什么特点？生活中还有这样的量吗？

问题3：这些量和我们数学中的数量有什么区别？

预设活动：教师引导学生从对力、位移的分析中，归纳出它们的共同特征——方向与大小，并对比数量，突出向量的特征，从而自然地引出向量的定义：在数学中，我们把这种既有大小又有方向的量叫作向量.

设计意图：借助丰富的物理背景，亲身经历从“大小”和“方向”两个要素抽象出数学概念的过程，揭开数学概念神秘的面纱，让学生感受到数学概念来源于真实的生活，从而激发深度学习的动机.

问题4：既然物理中已经有了矢量，有大小又有方向，为什么今天在数学课上，我们还要给它一个新名字“向量”呢？它们有什么区别？

预设活动：通过积极思考，交流讨论，学生能够认识到：向量虽然来源于对力、位移等矢量的抽象，但是不同于物理中的重力、浮力有作用点，可以感受到，向量是存在思维中的数学模型，二者有着本质的区别.

追问：数量可以比较大小，向量也有“大小”属性，是不是也可以比较大小？

预设回答：不可以，向量有大小又有方向，作为一个整体的向量不可以比较大小.

设计意图：对矢量、数量、向量三者的类比辨析，可以引发学生的批判性思考，避免概念学习的表面化，深刻地认识到数学有别于其他学科的高度抽象性，在数学知识的联系与区别中加深理解.

（2）类比探究，深入概念本质

①向量的表示

问题1：刚刚我们对比了数量和向量的区别，现在不妨回忆一下数的学习，通过一支笔、一棵树……我们抽象出了数，紧接着呢？

预设回答：学习了阿拉伯数字.

追问：也就是数的表示，除了阿拉伯数字，还可以怎么表示数？

预设回答：还有字母符号表示数或者用数轴上的点表示数.

问题2：同样地，在对向量下定义之后，我们要研究什么问题？

预设回答：向量的表示.

追问：请同学们类比数的图形与符号表示法，想一想怎么表示出向量的“大小”和“方向”？

预设活动：在学生动手尝试后，引导学生不断完善得出：用带有箭头的有向线段表示向量的几何法;接着回到书本，介绍向量的符号表示法;最后介绍向量的模——用符号表示向量的大小.

设计意图：通过回顾数的认识中，从抽象到表示的学习顺序，自然地引出探究问题——向量的表示，化被动灌输为主动探究，并类比数的图形、符号的表示，使得向量的数与形的表示自然而然地为学生所接受.

②零向量与单位向量

问题1：（1）在数的学习中，我们认识了0和1这两个特殊的数，它们有哪些含义？举例说明.

（2）同学们猜想一下，有特殊的向量吗？是什么？

（3）零向量既然是向量，除了大小，还应该有方向，它的方向应该朝向哪里？为什么？

预设活动：师生交流讨论，先回顾0和1的含义：0可以表示没有或者正负的分界线;1可以指数量“1”，还可以表示单位“1”. 通过类比，认识到引入零向量和单位向量的合理性与必要性. 接着认识二者的特点，对于零向量的方向，可以将其想象为地图上的一个人，那么这个静止的人可以朝任何方向移动，经过辨析，学生会发现规定零向量的方向是任意的最为合适.

设计意图：深度学习要求学生真正地理解并接受数学概念，对于零向量的方向，学生往往感到困惑，教师可以创造性地利用生活情境，帮助学生理解抽象的数学规定，感受数学来源于生活，但又高于生活.

③相等向量、平行向量与共线向量

问题1：数量之间有相等和不等关系，向量之间也有着特殊的关系. 仔细观察下面的正六边形（图3），试着给线段加上箭头表示向量，并判断它们的关系，举例说明.

预设活动：在给予充分的思考、交流时间后，学生很容易发现图中的相等向量、平行向量与共线向量，获得对向量关系的初步认识.

追问：为什么 ， ， ， 这四个起点不同的向量是相等向量？

生：通过平移，它们可以重合在一起，说明大小和方向都相等.

师：很好，这说明向量与起始位置无关，回到定义我们也可以发现，向量仅由“大小”和“方向”确定，因此向量是“自由的”. 此外，在后面的学习中，如果我们继续考虑起点问题，向量的研究将会处处受限.

追问：既然向量是自由的，那么借助平移，将平行的向量平移到一条直线上，是什么？这说明什么？

预设回答：共线向量，这说明平面向量可以“自由”平移，因此平行向量和共线向量没有区别，只是称呼不同.

师生总结：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量;两个向量所在的直线平行或重合，叫作平行或共线向量.

设计意图：在平面几何中，平行与共线是两种情况，而对于向量却是一样的. 因此，“为什么向量是自由的？”是理解向量平行与共线的关键. 教学中不能回避这个问题，回到定义，调动学生的高阶思维，认识到只有抓住数学研究对象的本质属性，抛开非本质因素，才能避免干扰，顺利展开数学研究.

（3）深化概念，助力问题解决

例1：判断下列命题的正误：

（1）若两个向量相等，那么它们的起点和终点都相同;

（2）若a=b，则a=b;

（3）若a>b，则a>b;

（3）若m=n，n=k，则m=k.

设计意图：从学生理解概念的易错点出发，巩固概念.

例2：将平面上所有单位向量的起点放在同一点，那么终点所构成的图形是什么？

设计意图：鼓励学生动手画图，大胆猜想，发散思维，感受单位向量与单位圆之间的有趣联系.

例3：已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式 + = + ，则四边形ABCD是什么？

设计意图：深度学习面向问题解决，利用向量知识解决简单几何问题，初步感受向量的工具性作用——連接数与形的桥梁.

（4）信息整合，建构概念网络

师：回顾本节课，我们学习了向量的哪些知识？请试着画图归纳.

师生活动：鼓励学生动手画图，师生交流完善，建构向量知识网络（如图4）.

设计意图：深度学习反对零散的、孤立的知识结构，通过梳理，建立向量概念的图式结构，有助于学生知识的记忆与提取.

（5）回顾整理，积累研究经验

师：这堂课，我们经历了向量概念的抽象，并类比数的认识，探索了向量的表示、特殊的向量和向量间的关系，同学们猜一猜，下节课，我们应该研究向量的什么？

预设回答：向量的运算和应用.

追问：在数学学习中，我们已经认识了很多数学概念，也正在学习平面向量这一重要概念，在今后还将继续学习其他的数学概念，那么回顾我们的学习，能否总结出数学概念学习的基本套路？

师生总结：抽象—下定义—数学表示—分析属性—运算—应用.

设计意图：数学的学习没有终点，通过开放性的思考问题，归纳总结数学概念学习的基本套路，能在相似的情境中灵活地运用，这正是深度学习所强调的.

教学启示

1. 亲历概念的形成，获得概念学习的深度体验

深度体验是深度学习得以展开的基础. 在本例中，通过联系物理背景，创造性地展开类比、归纳、概括、抽象等思维活动，将学生的认识不断引向深处，形成平面向量的概念. 一方面，在切身的体验与探索中，学生可以感受数学概念不同于其他学科的抽象性[3]，从而认识“数学抽象”的魅力;另一方面，只有让学生在生动活泼的思考、讨论中，体验概念的产生过程，对数学概念有了自己的认识，才有可能产生深度的学习.

2. 新旧联系与整合，实现数学概念的深度加工

新旧知识的联系与整合，是深度加工数学概念的有效手段. 与之相反，浅层学习下零散、孤立的知识体系，难以实现数学概念的长期保持. 在本例中，面对平面向量这一概念，首要的任务是激活学生头脑中的已有的概念学习经验和相似概念——矢量与数量，在新旧的有意义联系中，通过正向迁移与类比，建构新概念. 其次，基于习得的概念，鼓励学生画出概念图，理清知识脉络，实现思维可视化表征. 最后，畅想下一步要做什么——向量的运算与应用. 从整体上把握数学概念学习的一般过程，使学生的认识得到扩展，从而摆脱头脑中碎片化的粗糙结构.

3. 把握本质与思想，促进数学思维的深度发展

数学思维的发展是实现深度学习的突破口，概念教学不应该仅停留在表面的浅尝辄止，而要基于数学概念的本质与思想特征，指向学生数学思维的深刻性发展. 本例中，对于平面向量的教学，掌握向量的大小、方向，特殊的向量等知识固然重要，但更应该让学生理解这些概念规定引进的必要性以及合理性，通过“向量和矢量的区别”“为什么向量是自由的”“数学概念学习的一般方法”等问题，激发学生对知识本质和思想方法的思考与总结，从而实现数学思维的深度发展.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准[M]. 人民教育出版社，2017.

[2]  何玲，黎加厚. 促进学生深度学习[J]. 现代教学，2005（05）.

[3]  刘咏梅. 影响数学观的中学向量概念的教学[J]. 数学教育学报，2009，18（04）.