基于“问题驱动教学”的探究式数学课堂实践

朱清波

[摘  要] 高中数学课堂中，解题起着举足轻重的作用，如何做到通过解题提升学生的数学能力是一个值得探究的重要课题. 文章从一道常见的导数求值题引入，通过问题开展课堂和课外探究实践活动，逐步揭示其背后的本原，让学生从探究过程中学习和体会研究问题的基本思路.

[关键词] 问题驱动;探究式课堂教学;中心切线

引言

问题驱动的教学由数学家张奠宙提出，是一种从问题出发，为解决问题或者发展问题结论而不断设计新问题，在一系列问题链的解决过程中逐步加深对原始问题的理解，提升学生问题意识、解决问题能力和认知能力的一种教学活动. 波利亚曾说：“探索出一道题目的解答是一种创造，做出了某种创造以后，不管它是多么微小，我们都不应该忘记自问在其背后是否潜藏了更多的东西，不应该错过由这种新创造所能开发出的一些其他可能性.”作为教师，我们给学生传递的不能仅仅是知识与技能培训，还有课堂教学承担的其他功能.但当前的高中课堂教学中，许多教师更关注的是学生解题的熟练度和正确率，其常见方式为将各种题型按照考点汇编反复训练，这导致学生就题做题，无暇顾及解答背后的数学思想，当然其数学思维能力也并没有得到有效提高. 华南农业大学曹广福教授在其著作《问题驱动的中学数学课堂教学》中也提到：“课堂教学的灵魂是围绕一个问题展开，通过教师利用其经验的敏锐性引导学生发现解决并提升问题本质认知的过程，是传授数学研究思想的过程. ”因此，教师在课堂上要注重培养学生相应的思考方向和能力，对较为经典的问题解决思路进行甄别和提升，在设计上注重解法总结和思维的广度提升，以期提升学生对该类问题更高层次的认知.

探究式课堂教学的特点和实施

探究式课堂教学的特点是学生在解决某个问题时，不仅仅把该问题的解决作为终点，它也可能是新问题的一个起点或者是连接其他问题的一个路径. 其核心理论基础是弗赖登塔尔的“数学教育是数学的再创造”. 通过教师在课堂上合理的引导，设计符合学生心理认知的”问题链”，学生通过观察、思考、讨论等各种途径自觉探索发现一些规律，从而形成自己更高层次的理解和总结. 在此类课堂教学中教师和学生至少要经历以下三个阶段：（1）发现一个好问题或解决问题的好方法，找到问题的基本解决方法和其他有代表性的解法;（2）评价上述各解答中的优劣，即探究问题解答是否具有一般性，课堂关注点从“一题多解”逐渐过渡到“多题一解”;（3）提炼解法背后隐藏着的深层次的信息，将其性质一般化后再去捕捉另一些原来看似毫无关联的问题和性质，即找到这类问题的“源与流”. 而考虑到课堂时间的限定和知识点拓展容量难度等问题，上述过程中课堂教学环节可能实现前两项，而最后一个环节的提炼则可能会延伸到课外的研究型学习，参与者也从全体学生过渡到部分學优生，让这些学生从“解题”过渡到“识题”，最终实现自身数学素养的可持续发展.

以一道导数求值题的讲解为例的探究设计

习题讲评课是毕业年级的高频课堂形式，若教师的讲解仅仅停留在对答案的更正，这样的形式实际上学生自主就能完成，因此课堂效率就会显得低下. 如何吸引住学生的注意力，把对问题的认知提升到一个新的高度，是值得教师不断探究的任务. 下面以一道导数求值题的讲解为例，合理设置“问题链”，实现探究式课堂教学的一些相关实践.

1. 提出问题，分析各种解法的优劣

例题1：记函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-4），则 + + =______.

函数的导数求值问题在高中是一个高频考点，学生只要对基本求导公式记忆准确，一般都没有太大问题，总的来说，本题有如下两种处理方式：

解法1：f（x）=（x-1）（x-2）（x-4）=x3-7x2+14x-8，则f ′（x）=3x2-14x+14，由f ′（1）=3，f ′（2）=-2，f ′（4）=6，故 + + = - + =0.

点评：该解法是最常规的思路，将三次结构展开，利用导数公式代入求值即可，易错点在于整个运算过程中三次结构展开式的并项运算和代入导数值后的四则运算.

解法2：由f（x）=（x-1）（x-2）（x-4），则f ′（x）=（x-2）（x-4）+（x-1）（x-4）+（x-1）（x-2），f ′（1）=（1-2）（1-4）=3，f ′（2）=（2-1）（2-4）=-2，f ′（4）=（4-1）（4-2）=6，故 + + = - + =0.

点评：该解法将课本上的求导法则（uv）′=u′v+uv′继续拓展为三个连乘结构（uvt）′=u′vt+uv′t+uvt′，然后代入求值即可，易错点集中在前面三个连乘结构的求导法则的推演.

2. 捕捉解题过程中的规律或一般化思想，猜想验证归纳出相关规律

比较上述两种做法，从计算难度比较而言，两者并无太大的差异，但从推算方式来看，前者是求出了三个导数值后相加，得到的最终结果并不会留给学生太深的印象;而后者的过程在头脑敏锐的学生群体中会留下某种疑惑，似乎该结构的答案最终为0是一个并非偶然的结果，本题中的1，2，4是函数的零点，所求的是在三个零点处的导数的“倒数之和为0”，这个问题是否为某些规律或者一般性结论？故我们可以继续提出如下问题：

例题2：若函数f（x）=（x-x ）（x-x ）·（x-x ），求 + + 的值.

解析：由f ′（x）=（x-x ）（x-x ）+（x-x ）·（x-x ）+（x-x ）（x-x ），而f ′（x ）=（x -x ）·（x -x ），f ′（x ）=（x -x ）（x -x ），f ′（x ）=（x -x ）（x -x ），故 + + = + + = =0.

这样我们就通过一种解答方法猜想并验证得到了该问题结构的一般性，若将三次函数的零点式写成一般结构，即可以引导学生总结得到一个三次函数的性质：

性质1：若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）有三个零点x ，x ，x ，则 + + =0.

3. 提升解法认知，培养学生数学抽象的素养

上述优美的推导方式和相应结论自然会让师生去猜测类似结构的函数是否具有同样的性质，我们顺势可以提出下一个问题：二次函数是否也具备类似的性质呢？

该问题使得学生的思路分成了两个方向，受惯性思维的影响，大部分学生沿用二次函数的零点式，通过求导来加以验证;而另一部分学生则利用二次函数图像的轴对称性，通过图形来观察、发觉、类比出的结论是显然的，即“若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）有两个零点x ，x ，则 + =0”.

有了这个问题作为铺垫，师生脑海里自然能产生下一个问题：更高次数的一元n次函数是否也具有类似的性质呢？

虽然此时函数图像不再具有直观性，但学生通过三次函数零点式结构的模仿推算，再利用求导法则的类似推理，自然也能推广得到如下结论：

性质2：若函数f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a x+a （a ≠0，n≥2）有n个零点x ，x ，…x ，则 + +… =0. （证明过程略）

通过这样的课堂环节，学生对该问题的认知就达到了一个更高层次，二次函数或三次函数的零点导数值的关系只是该结构的一种特殊情况，这个“特殊”体现在最高次数的差异;当然教师也可以引导学生从另一个角度观察该结论，从对应图像来看，三次函数的零点问题是三次曲线和一条特殊的直线（x轴）存在3个交点时所形成的结论，那我们是否可以从三次函数的图像展开一般化探究？若与之相交的直线的斜率不为0，结论又如何？而考虑到三次曲线均是中心对称图形，则只需研究三次曲线y=ax3+cx（a≠0）的相关性质即可.

例题3：如图2，若三次曲线y=ax3+cx（a≠0）与动直线y=k x+m  有三个交点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），记三次曲线在A，B，C处的切线斜率分别为k ，k ，k ，试探究k ，k ，k ，k 之间的关系.

解析：由题意得ax3+cx-k x-m =a（x-x ）（x-x ）（x-x ），故y=ax3+cx=a（x-x ）（x-x ）（x-x ）+k x+m ，则y′=a[（x-x ）（x-x ）+（x-x ）（x-x ）+（x-x ）（x-x ）]+k .

而k =y′x=x1=a（x -x ）（x -x ）+k ，k =y′x=x2=a（x -x ）（x -x ）+k ，k =y′x=x3=a（x -x ）（x -x ）+k ，则 + + =a + + =0. 故k ，k ，k ，k 之间的关系式为 + + =0. （注：当k =0时即为问题2的结论）

上述拓展问题开始变难了，这需要教师合理的引导并给出一个具体的方向让学生尝试，最终结果是该问题的另一个方向的一般性结论（曲线和x轴的交点只是其中一个特殊情况）. 接下来我们从这个一般性结论出发，研究一下该结构在其他特殊方向上是否有某些相应的结论. 由于课堂时限和容量等问题制约，后续的探究則需要在课外研究型学习时段内教师和部分学优生共同完成.

4. 课外延伸，引导学生进行问题再创造，体会问题一般化和特殊化的数学思想

在课堂上，师生明确了三次函数表达式结构的特殊性，进而推广到一元高次的一般状态;从形的角度重新认知后，又感知到了零点位置的特殊性，从而推广到一般动直线的交点问题. 那么，在相交的情况下，又有什么特殊状态和相关结论呢？提出一个好问题的难度比较大，教师可以先尝试给出一个方向，再鼓励学生去计算验证.

例题4：上述结论中，当动直线l：y=k x+m 过三次曲线的对称中心O时（此时m =0），记过对称中心O的三次曲线的切线为l ：y=k x（后文中简单表述为三次曲线的中心切线），会有什么相应结论？

当研究方向转换到与三次曲线相交的直线l的另一种特殊状态时，如图3，由三次曲线的中心对称性可知，曲线在A，C处的切线l ∥l ，即对应斜率k =k ，故结论“ + + =0”可变形为“ + =0”，化简后得k = k + k .

此结构表明：如图4，在三次曲线的中心切线上任取一点P（异于对称中心O），作曲线另一切线，记切点为A，则△PAO三边所在直线的斜率存在恒等关系k = k + k . （其中k ，k ，k 分别指直线AO，PA，PO的斜率）

注意到等式k = k + k 中，中心切线斜率k =f ′（0）=c是一个定值，即k ，k 具有线性关系，当k =0时显然有k =-2k ，此即表明三次函数的另一个性质：

性质3：如图5，记三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为（m，n），若方程f（x）=n有三个不同实数根x ，m，x ，则f ′（x ）=f ′（x ）=-2f ′（m）.

继续利用小结论k = k + k ，当k =0时，会有k = k ，该结论表明“三次曲线两驻点连线的斜率等于中心切线斜率的 ”，则对应的一般三次函数还具有以如下性质：

性质4：如图6，若三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）存在极值点x ，x ，则 = f ′ .

通过特殊到一般，再回到特殊的探究方式，师生研究了三次曲线中与切线有关的部分性质，显然利用同样的探究方式，我们还可以对二次曲线进行研究并得出一些相关结论，如继续推广到二次曲线和一般直线相交的状态时，不难证明：如图7，在二次曲线外任取一点P，作曲线的两条切线，记切点为A，B，则△PAB三边所在直线的斜率满足k = k + k （其中k ，k ，k 分别指直线AB，PA，PB的斜率）. 而当其中一条切线斜率变为0时，如图8，不妨设k =0，则结论变为k = k ，即说明点A，P的横坐标是2倍关系.上述两个探究结论均为圆锥曲线中阿基米德三角形的相关性质，这里只是从另一个角度来探究并完成这些经典结论的证明.

结束语

本节课以一个纯计算的问题引入，教师通过解题反思，适时提出的问题尽量迎合学生想“知其所以然”的心理，从而产生探究问题的原动力和内在需求，当然这些问题也需要考虑实际中学生的接受能力. 在全体学生完成课堂任务的前提下对一部分思维较好的学生提出更高的要求，通过教师有效的问题指导，让学生在一个相对陌生的情境下经历真实完整的思维探究过程，实现对问题的更高层次理解. 而数学的学习不能仅仅局限在课堂，探究形式也可以是小组合作和个人思考相结合，从课内延伸到课外，将活动落到实处，相信能更有效地培养学生可持续发展的数学能力.