学生视角下的波利亚解题策略

应丹蓉

[摘  要] 波利亚解题策略在应用过程中具有极高的实用价值. 基于新课标培养核心素养这一要求，在教学实践过程中向学生传授波利亚解题策略，可以提高学生用数学眼光和思维观察分析问题的能力. 因此，文章以一道最值问题为例，代入学生视角应用波利亚解题策略，探寻教师应如何引导学生应用波利亚解题策略.

[关键词] 波利亚解题策略;核心素养;最值问题

问题提出

波利亚解题理论把解题过程中“好的解题思路”产生的数学思维过程分成了四个阶段：理解题目—制定计划—执行计划—回顾[1]. 其对于锻炼学生解题思路有着很大的促进作用.

但在众多基于波利亚解题理论的文章中，教师们习惯以自身的视角利用波利亚解题策略解题，然后给一个经典的题目提供多种解法，以向学生展示波利亚解题策略的“好”. 然而，这只是教师们在常年的教学活动中，对教材中每个知识概念，甚至某些题目的巧妙解法的丰富积累，所以在利用波利亚解题策略时，总是能够“联系”到相关知识.

笔者在将波利亚解题策略介绍给学生之后，学生应用的情况并没有达到预期效果. 通过与学生的谈话和思考，笔者发现，波利亚解题策略的关键是在制定计划阶段寻找与过去所获得知识之间的联系. 但一般学生的知识储备和调用能力不足，难以在短时间内整理出一个有用的解题方法，或者无法确定脑海中的想法能否指引自己通向最终目的，也就不易建立起这种“联系”，而“要使学生真正理解书本知识，必须有他们自己身体力行的实践”[2].

因此，笔者就以学生视角利用波利亚解题策略，尝试体验学生在解题过程中的思维历程，探寻学生在利用策略过程中可能遇到的困难. 笔者在教学实践过程中认识到，制约学生不能利用好“怎样解题表”解题的原因在于学生无法根据题目条件找到“联系节点”，无法利用“联系节点”有意识地发散思维，主动寻找自身知识储备与题目之间可能存在的联系. 为此，笔者拟从学生答题步骤分析其心路历程，并代入学生视角按波利亚解题策略将其还原出来，讨论学生该如何应用波利亚解题策略.

教学实例

应用波利亚解题理论可以通过题设中涉及的概念和条件用语的关键词回到相关数学概念的定义中去，以实现思维的发散[3]. 为了更好地代入学生视角，笔者选择“最值问题”这类在题设中不易找到定义启示的题型，以更好地阐述在不易找到“联系”的情况下学生该如何发散思维.

例1：（2017，全国卷，14）函数f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，  的最大值是______.

下面以学生视角应用波利亚解题策略的四个阶段进行解题分析.

第一步，理解题目.

（1）问题是什么？答：函数的最值问题.

（2）未知量是什么？答：未知量为x.

（3）已知条件是什么？答：定义域x∈0，  .

（4）要求的是什么？答：求最大值.

第二步，制定计划.

能够想到的类似问题是求函数的最值，可以通过函数的一阶导数判断函数的单调性和单调区间，结合单调性判断是否有最大值，并求出最大值是多少.

第三步，执行计划.

解：f（x）=sin2x+ cosx-0.75x∈0，  ，则f′（x）=2sinxcosx- sinx= （2cosx- ）sinx. 当x∈0， 时，f′（x）>0，函数在该区间内单调递增;当x∈ ， 时，f′（x）<0，函数在该区间内单调递减. 所以当x∈0， 时，函数的最大值为f ，即1.

第四步，回顾.

求导公式运用正确，单调区间判断无误，结果检验准确.

该题为高考填空题，总体上难度并不大，稍作分析便可以找到解题策略. 笔者将该题布置给学生进行波利亚解题策略的应用训练，绝大多数学生都是采用导数方法求解的，笔者代入学生视角将波利亚解题步骤还原出来.

该解法符合大部分学生做题的思维流程，即在制定计划时总是倾向于制定可以直接实施的解题方案，避免可能出现新问题的解题路线. 而波利亚解题策略的核心是通过题目条件主动寻找与自身知识储备之间的联系，从而制定可能有效的解题方案.

以该题为例，利用sin2x+cos2x=1这一隐含的已知条件，将sin2x转化为1-cos2x，使得原函数转变为仅含cosx的函数，通过换元t=cosx即可将原函数转变为常规的一元二次函数，再利用二次函数的图像性质轻松得解. 那为什么大部分学生没有意识到这样的“联系节点”呢？

通过与学生交谈，笔者总结原因为“对最值概念理解得不够深刻”. 最值概念源于极值概念，人教版选修2-2第一章第1.3.2节中关于极值的定义如下：

以a，b兩点为例，函数y=f（x）在点x= a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f ′（a）=0;而且在点x=a附近的左侧f ′（x）<0，右侧f ′（x）>0. 类似地，函数y=f（x）在点x=b的函数值比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f ′（b）=0;而且在点附近的左侧f ′（x）>0，右侧f ′（x）<0.

因此，当学生看到题设中的“最值”要求时，第一反应就是通过函数求导判断函数单调性来求解. 而在教材中关于极值的定义中，实际上同时也给出了图像来加深学生对于极值概念的认识，它给我们的启示是在处理极值、最值问题时也可以通过已经学习过的函数图像性质来求解. 这种“启示”看起来平平淡淡的，但牢记这一点可以在解最值问题时多一种解题思路，有时候还会有意想不到的效果.

基于此，笔者按照波利亚解题策略重新进行第二步、第三步、第四步的分析，在这个过程中探究学生该如何应用波利亚解题策略. 分析如下：

第二步，制定计划.

函数最值问题可以通过已学的函数图像性质进行判断，从“几何”的角度进行观察. 从函数f（x）=sin2x+ cosx-0.75的形式来看，其与二次函数f（x）=ax2+bx+c的形式接近，区别在于sinx与cosx的三角函数名不同，不能直接换元. 而我们学过很多三角函数异名转换的公式，这里容易想到sin2x+cos2x=1这一转换公式！因此，该函数可以转换为f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75，再利用换元即可以变成简单的一元二次函数.

第三步，执行计划.

解：已知sin2x+cos2x=1，则原函数可以转换成f（x）=1-cos2x+ cosx-0.75= -cos2x+ cosx+0.25，x∈0， . 令cosx=t，t∈[0，1]，原式可写成f（t）=-t2+ t+0.25（t∈[0，1]），则a=-1，b= ，c=0.25. 该二次函数开口向下，定义域内函数的最大值在对称轴取得（对称轴在定义域内），或定义域两边界线处的较大值（对称轴在定义域外）. 该函数的对称轴t= ，在定义域[0，1]内，所以最大值在對称轴取得，最大值为f ，即1.

第四步，回顾.

（1）结果检验. 换元时考虑了换元可能产生的不等价转换问题，在换元时定义了新自变量t的定义域. 另外，t= 时，对应的x的取值为 ，恰好也在0， 内，侧面验证了结果的准确性.

（2）解法迁移. 解决此题的方案同样可以应用到类似的问题的处理中，如指数函数的最值问题f（x）=22x+2x+0.25（x∈[-1，1]）和对数函数的最值问题f（x）=（log x）2+log x+0.25x∈ ，2. 通过换元可以转换为求解一元二次函数的最值问题.

教学启示

高中数学概念繁多且相互联系紧密，学生遇到题目便绞尽脑汁去回想相关概念、公式，其实是变相给自己增加负担. 波利亚解题策略中也强调在解题过程中尝试想出类似熟悉的问题，先找到方向（新方向可能出现新问题），最后再回到定义思考该如何解决. 关于教师应如何指导学生应用波利亚解题策略，笔者认为应认识到以下三个方面.

1. 解题是被动解决新出现的问题

教师在引导学生解题的过程中，总是“主动”地根据题目条件创造出解决问题所需要的条件，如在本文所举的例子中，sin2x+cos2x=1常被当成隐含的已知条件直接列出来，将原问题通过换元转换成简单的一元二次函数的最值问题. 这种主动地发散思维其实并不符合学生解题过程中的思维活动，而“被动”处理新出现的问题则更符合实际.

本例中，先是通过观察发现原函数与一元二次函数f（x）=ax2+bx+c的形式更为接近，希望通过二次函数的图像性质解决此题，但新出现的问题是sinx与cosx的三角函数名不同，导致不能直接通过换元来解决，此时就希望通过已经学过的知识来解决这个“新问题”，这时公式sin2x+cos2x=1便应运而生.

因此，教师多从学生视角考虑一个题目该如何解决，就更能体会到学生在解题过程中需要“被动”处理新问题的困难. 教育的最终目的是培养一个会思考、有灵魂的人，而不是一个只会重复知识的机器. 数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”[4].

2. 数学概念是联系节点

教材中每个给出的数学概念都会铺设合理的认知台阶，逐步引导学生理解接受. 教材中概念引入过程同时蕴含了“是什么”和“为什么”两个要素，教师在教授数学概念时要充分根据教学经验帮助学生理解每个概念的内涵和外延. 如立体几何中“二面角”的定义（垂直于两面交线的直线的夹角），既阐述了什么是二面角，也给出了该如何作出二面角的一种方法. 因而在应用波利亚解题策略过程中，教师要引导学生把数学概念当成联系节点，

3. 数学公式是工具

对于学生而言，解题时总是在想如何利用学过的概念、公式等解决题目，阅读完题干后便开始回想所学过的公式和定义，并在脑海中“演练”一般，觉得找到解题思路后便开始动笔. 笔者认为，应该把数学公式当成工具. 之所以当成工具，是因为工具不同其功能属性也不同，适用于不同的场景. 解题是一个根据题目筛选出所需要工具的过程，如sin2x+cos2x=1就是一个三角函数名相互转换的工具，而不是抓到哪个用哪个.

把数学公式当成工具是一个有趣的看法，它意味着解题要不断更换工具解决接连出现的问题，意味着每个公式、定义的选择都是有“目的”的. 当然，也许一开始并不会一帆风顺，因为“工具”被发现之前我们并不知道它的功能，而这就需要教师帮助学生通过不断使用来强化对数学工具的认识，这样便可以在解题时得心应手.

结束语

新课标中实施核心素养教学是现阶段教育目标的新提法，培养学生核心素养的阵地在课堂，载体是课本以及一个个经典的题目，而关键则在于教师.

波利亚解题策略的优势在于解题的逻辑性强，可以减少错解或漏解，作为教师，要尝试代入学生视角来解决数学题目，想学生之所想. 本文中所述代入学生视角应用波利亚解题策略解题的过程，没有直接指出解题的关键条件，而是从学生角度考虑“换元转换”这一解题思路出现的原因，并引导学生回顾教材中关于极值概念的定义，阐述教材如此定义所给予的启示.

这种换位思考的教育方式能够使教师更好地把握教材内容编排中所包含的教育价值，从而实现数学学科的育人功能. 如本文中总结的“被动”解题理论，也可以为学生解决其他问题提供思路，使学生在面对复杂问题时不至于一筹莫展.

参考文献：

[1]  波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法[M]. 涂泓，冯承天译. 上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]  章建跃，陶维林. 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J]. 数学通报，2009，48（06）.

[3]  朱其超. “回到定义去”的思维策略[J]. 中学数学，2010（15）.

[4]  史宁中，林玉慈，陶剑，郭民. 关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J]. 课程·教材·教法，2017（04）.