Equal-Width波方程的高精度守恒差分格式

钟瑞华,程宏，何育宇

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

1984年，Morrison 等[1]提出了Equal-Width 波方程，该方程多应用于模拟一维波在具有色散过程的非线性介质中的传播.随后,许多人对该方程进行了大量的研究.Gardner 等[2]用三次Β-样条有限元方法模拟了电子束发射过程中孤立波的迁移和相互作用.Zaki[3]用Petrov-Galerkin 方法求解修正的Equal-Width方程,并使用五次Β-样条有限元模型模拟孤子的产生、运动和孤立波的相互作用.Abdulkadir[4]采用线性Galarkin 有限元方法对Equal-Width 波方程进行了研究. Rui[5]利用平面动力系统分支理论方法研究了Equal-Width 波方程的孤波解和周期解.

本文考虑如下Equal-Width波方程的初边值问题

其中μ是给定的正常数.可以验证,式(1)-式(3)具有如下守恒律

首先建立式(1)-式(3)的三层线性差分格式,在时间上和空间上分别达到二阶和四阶精度,并证明所建立的差分格式的守恒性、收敛性和稳定性,数值结果验证了理论分析的可靠性.

1 差分格式的构造

对求解区域[α,β]×[0,T]进行网格剖分,取空间步长h=(β-α)/J,时间步长τ=T/N,其中J、N为正整数,记网格点xj=α+jh(0 ≤j≤J),tn=nτ(0 ≤n≤N).记

对任意un、vn∈定义如下记号[6]：

对式(1)-式(3)考虑如下差分格式：

其中

式(6)-式(8)可展开为一个五对角矩阵的线性方程组,可用“追赶法”求解.

由于式(6)-式(8)是三层线性隐式格式,所以需要下面的两层格式来计算u1

2 差分格式的守恒性

引理1[7]对任意的un、vn∈,则

当un=vn时,有

引理2[7]对任意的un∈,则

引理3[7]对任意的un∈则有

引理4[7](离散Sobolev不等式)对任意的un∈Z0h,存在两个正常数a和b,使得

定理1设则式(6)-式(8)满足质量守恒和能量守恒,即

证明将式(6)两端同时乘……