射影平坦spray的射影Ricci曲率

王 伟, 李本伶

射影平坦spray的射影Ricci曲率

王 伟, 李本伶*

（宁波大学 数学与统计学院, 浙江 宁波 315211）

研究了射影Ricci平坦的spray和度量, 首先讨论射影平坦spray在给定的体积元条件下何时满足射影Ricci曲率为0的条件. 在此基础上, 刻画出在常用的Busemann-Hausdorff体积元情形下, 射影平坦Randers度量的射影Ricci曲率, 并给出Ricci曲率为常数时该度量的具体构造.

射影平坦; Ricci曲率; Randers度量

为研究射影Ricci曲率对spray和度量的影响, 首先考虑射影平坦spray的射影Ricci曲率, 得到射影Ricci曲率为0时其体积元满足的等价条件(定理1); 其次考虑具有应用价值的Randers度量, 得到Busemann-Hausdorff体积元(以下简称B-H体积元)下其射影Ricci曲率, 以及射影Ricci曲率为0时其Ricci曲率的具体表达式(定理2). 研究结果给出的等价条件和刻画的具体度量有利于发现新的具有应用价值的度量及其几何.

1 基础知识及主要定理

在芬斯勒几何中, 黎曼曲率由Berwald[10]引入, 可以视作黎曼几何中黎曼曲率的推广. 黎曼曲率定义为:

本文第3节讨论的体积元都是B-H体积元.

本文主要得到如下2个定理.

Randers度量在物理、生物等领域上有着重要应用. 利用定理1, 可考虑Randers度量情形的射影Ricci曲率, 射影Ricci曲率对于研究芬斯勒几何有着重要意义.

2 定理1的证明及其相关结果

式中:

对式(2)关于和缩并, 再由Ricci曲率定义可得:

证明 当为射影平坦时,

将式(5)代入式(3)可得:

由文献[5]可知:

将式(5)～(8)和式(10)代入式(4), 可得:

定理1的证明

再由文献[2]可得:

将式(11)和式(12)联立得:

3 定理2的证明及其应用

定理2的证明

其中:

将式(23)代入式(22), 求得:

将式(24)代入式(19)可得:

将式(25)代入式(20)可得:

以下将研究Randers度量在B-H体积元下考虑其射影Ricci曲率为0的情形, 进而求解该条件下度量的具体构造. 由式(28)可得Randers度量的射影Ricci曲率为:

解式(31)可求得:

式中:

对式(32)求共变导数可得:

根据文献[9], 当Randers度量为射影平坦时,

证明 将式(32)～(34)代入式(35), 可得式(36), 引理3得证.

证明 在射影Ricci曲率为0的条件下, Ricci曲率由式(36)给出. 通过引理4得:

则要求如下方程成立:

等价于

从文献[8]可得:

例1 射影Ricci曲率为0的Randers度量实例.

取B-H体积元下的体积函数:

,

根据文献[8]得:

这与式(32)计算结果一致, 即此度量为射影Ricci曲率为0的爱因斯坦度量.

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Projective Ricci curvature of projective flat spray

WANG Wei, LI Benling*

( School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China )

In this paper, the projective Ricci flat spray and its metrics are studied in the most part. Firstly, we discuss the case in which the projective flat spray meets the condition that the projective Ricci curvature is 0 with the given volume element. On this basis, by using Busemann-Hausdorff volume element, the projective Ricci curvature of projective flat Randers metrics is described, and the concrete structure of such metrics is given provided that the Ricci curvature is constant.

projective flat; Ricci curvature; Randers metrics

O186

A

1001-5132（2021）04-0079-07

2020−10−14.

宁波大学学报（理工版）网址: http://journallg.nbu.edu.cn/

国家自然科学基金（11371209）; 浙江省自然科学基金（LR18A010002）.

王伟（1997－）, 男, 湖北黄冈人, 在读硕士研究生, 主要研究方向: 微分几何. E-mail: wangwei2020nbu@163.com

李本伶（1979－）, 女, 浙江宁波人, 教授, 主要研究方向: 微分几何. E-mail: libenling@nbu.edu.cn

（责任编辑 史小丽）