探寻数学文化试题的命题角度

苏祥永 陈国林

(1.河南省郑州市第十九高级中学 450000；2.江西省南昌市东华理工大学 330013)

数学文化的融入给高考试题的命题增加了新鲜的血夜，五育与数学的融合，能够更好的促进学生的全面发展，纵观2020年高考真题，不难发现，对数学文化的考查比例依旧很高.下面我们选取个别真题和模拟试题一起分析文化试题的命题角度.

一、命题角度分析

角度1：“美”学中的数学

胡夫金子塔是古埃及最大的一座金子塔，它是由一个个大石块堆砌而成，据说供动用了10万工匠，用时20年，建成后塔高146.59米，在埃菲尔铁塔修建前，胡夫金字塔的高度是一直保持着建筑物中的第一名.

例1(2020全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ).

图1

评注以“美”为命题的文化试题，是高考试题中的常客，除以建筑为背景的数学试题外，还有黄金分割身材的“断臂维纳斯”，美轮美奂的天坛，琴音中的音乐，美丽的风雨桥等等，

角度2：“运动”中的数学

体育运动，可以增强体魄，只有有一个强健的体魄，才能更好的学习和工作，随着体质的增强，我们的生活方式和生活质量也会不断提升.体育事业的不断发展，已经成为一个国家发展进步的重要衡量标准.

评注有关体育相关的数学命题，多于赛制有关，因此要掌握求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A、B相互独立时,公式才成立.

②正面计算较繁琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.

角度3：“著作”中的数学

中华文化源远流长，数学家对数学真理的探索是不断前行的，我们的祖先曾创造了无数的辉煌，对人类的进步做出了伟大的贡献，因此对数学文化的学习是非常有必要的.

例3 (2020贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( ).

解析因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5，解得a=1，即丙所得为1钱，故选D.

评注我国古代的数学著作记录了大量的数学问题，其中最具代表性的就是《九章算术》，因此我们会发现很多文化试题都摘录此书，除此之外，其实还有大量的数学著作，这些都可能成为高考数学文化试题的命题选择.

角度4：“模型”中的数学

随着近年来对数学文化与数学应用的呼声越来越高，数学文化与数学应用试题已经成为高考试题中不可或缺的一类考题.此类试题的命制注重实际背景，整体呈现结合应用，注重建模的特点.

例4 (2020安徽淮北二模)1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数y和天数t的函数关系为：y=2t-1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为( )天(lg2≈0.3010.)

A.25 B.26 C.27 D.28

评注利用数学知识解决实际应用问题是学习数学的最终目的，因此在处理数学问题时，一定要注重模型思想的构建，掌握好数学的理论基础，将实际应用问题转化为数学问题，进而求解.

二、数学文化的命题趋势

随着五育并举的提出，数学文化试题在高考中的渗透被更加的重视起来，这类试题已经成为考试中不可缺少的数学试题.从近年来的数学试题命制角度和命题方向也可以发现数学文化还是有一定的变化的，在2015年湖北卷中以《九章算术》中阳马和鳖臑为背景，考查了线面垂直的证明和体积的计算后，此类试题就很快得到了命题人的青睐.

2016年在全国Ⅱ卷中以中国古代有计算多项式值的秦九韶算法为背景考查了流程图，2017年全国Ⅱ卷以《算法统宗》中的灯塔问题考查了等比数列的前n项和，2018年全国Ⅱ卷以我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中取得的成果为背景考查了古典概型；但在2017年全国Ⅰ卷中并没有按照以往的以古代著作为背景进行命题，而是以中国古代的太极图为背景考查了几何概率，这类考题出现，随后就出现了大量的以图形为背景的数学文化试题，2018年全国Ⅰ卷以希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形为背景考查了几何概率，2018年全国Ⅲ卷以中国古建筑借助榫卯为背景考查了三视图，此后以建筑，雕塑为背景的考题又接踵而至，2019年全国Ⅰ卷以“断臂维纳斯”为背景考查了黄金分割比，2019年全国Ⅱ卷以中国悠久的金石文化——印信为背景考查球内接多面体，2020年全国Ⅱ卷以天坛为背景考查等差数列的实际应用，2020年全国Ⅰ卷以埃及金字塔为背景考查了棱锥的几何性质；除此之外，数学文化试题还有很多，例如：2019年全国Ⅱ卷以嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆为背景考查函数的性质，2019年全国Ⅲ卷以四大名著为背景考查了估计值的求法，2020年全国Ⅱ卷以钢琴为背景，通过音律美考查了数列的应用，2020年全国Ⅲ卷以logistic模型为背景考查了函数的实际应用，这类试题都体现了数学之美和数学之用，因此预计2021年的高考数学文化试题将以实际应用为背景，以数学模型为命题方向进行展开命题，除此之外，2021年的数学文化试题以建筑为背景进行命题的可能性依然很大.

三、跟踪演练

1.在古代增删算法统宗中曾有记载“公候伯子男，五四三二一，假有金五秤，依率要分讫.”意思为：“今有公、候、伯、子、男五等官员，欲按官位高低进行分75斤金，依比率为5:4:3:2:1分完.”请你帮计算一下，如果为“公”官员，可分( )斤.

A.25 B.20 C.15 D.10

2.(2020陕西榆林模拟)陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜”或“打老牛”，陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，从前的制作材料多为木头，现代多为塑料或铁制，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为( ).

图2

3.(2020河南开封一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》；现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有( ).

A.18种 B.24种 C.36种 D.54种

解析由已知代数式的求值方法：

5.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.

图3

则f(4)=____，f(n)=____.

解析因为f(1)=1，f(2)=7=1+6，f(3)=19=1+6+12，所以f(4)=1+6+12+18=37，所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.