一个平抛问题的两种解法

王伟民 李 玉

(安徽省太和县宫集镇中心学校 236652)

例1 (2019安徽江淮十校三模)如图1所示，长木板AB倾斜放置，板面与水平方向的夹角为θ，在板的A端正上方P点处，以大小为v0的水平初速度向右抛出一个小球，结果小球恰好能垂直打在板面上；现让板绕A顺时针转过一个角度到图中的虚线位置，要让球从P点水平抛出后仍能垂直打在板面上，则抛出的水平速度v(不计空气阻力)

A.一定大于v0B.一定小于v0

C.可能等于v0D.大于v0、小于v0、等于v0都有可能

这是一道跟平抛运动有关的运动学题目，我们采用不同的方法对该题目涉及的问题进行求解判断.

一、解析法

以给定初速度v0水平抛出的小球，其运动轨迹抛物线与木板所在的直线相交，满足交点处抛物线的切线与木板所在的直线垂直条件下，如果能够确定木板与水平面的夹角θ跟小球初速度v0间的关系式，那么，根据函数关系式即可确定函数的增减性，进而可以确定问题的答案.

由该关系式可知：v0↑→a↓→θ↑，这就是说，满足小球垂直打在木板上这一条件时，木板与水平面的夹角随着小球水平初速度的增大而增大.所以，本题的正确选项是B.

二、图像法

解析设小球运动轨迹抛物线与木板的交点为N，将对称轴左侧的抛物线补充完整，并作辅助圆——与抛物线两侧都相切，并且右侧切点为N点的圆，如图3所示，显然，该辅助圆的大小和圆心位置是唯一确定的，并且辅助圆的圆心在抛物线的对称轴上.依题意可知，小球垂直打在板面上的点即为图3中以A为圆心并且与抛物线相切的圆跟抛物线右边的切点位置.

在木板AB与水平面AC的夹角∠BAC内作任意射线AD，交抛物线于G，如图4所示，过G作抛物线的切线EF，易知，∠DGF为锐角(因为在抛物线内部与抛物线两边都相切，并且右侧切点在G点的圆的圆心一点在A的下方.设∠DGF的度数为α)，如果以P为顶点作出开口向下的很多抛物线的话，跟图4所示情形抛物线相比，开口更大的抛物线在其与射线AD交点处的切线与AD所夹的锐角比α小，开口更小的抛物线在其与射线AD交点处的切线与AD所夹的锐角比α大，当开口小到一定程度时，可使抛物线在其与与AD交点处的切线与AD垂直，而小球的水平初速度越小，其运动轨迹抛物线的开口越小，所以，例题1的选项应该是选项B.

能够发现，解法一是根据函数解析式作为条件，之后进行逻辑推导而得出结论的，这种解法推理严谨但解题过程冗长，适合于需要体现解题过程的题目的解答；解法二通过增添辅助圆的方法，根据图形的形状特点进行判断，过程简洁但不十分的严谨，适合于不需要体现解题过程的题目的解答，如选择题，填空题，判断题目等.例题1是选择题目，所以，两种方法相比，解法二应该是相对比较合适的方法.