几道有趣的错题

谢秋凤

(江苏省南京市高淳区淳辉高级中学 211300)

在南方凤凰台东南大学出版社出版的《专项精练一轮滚动60练》微模拟11中，第6题出错.我们将错就错，来看看各种错解及错解原因，从中折射出哪些知识点、哪些解题思路和方法.在探究错误原因的过程中，我们既能加强对相关概念的理解，又能更深刻地理解体积分割法，提升同学们的解题能力.同学们在积极主动探求错误原因中，愉悦地掌握了相关知识，敢于质疑，寻求真理，一道错题又有何妨！

一、有趣的错题

题1 如图1，在棱长为6的正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E，F分别在C′D′和C′B′ 上，且C′E=4，C′F=3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC′-DBC的体积为____.

错解2如图2，连接BE，CE.

所以VEFC′-BCD=VE-BCD+VE-BCC′F=72.

错解3如图3，连接DF，CF.

所以VEFC′-BCD=VF-BCD+VF-CC′ED=66.

错解原因我们分组讨论不难发现错解1的错误原因：如图4，延长DE，CC′，BF，它们并不相交于同一点，所以这个几何体并不是棱台，故不能选择棱台的体积公式解决.

错解2与错解3的解题思路相同，但答案却不相同.这时候，同学们首先是主动查找各自的计算有没有错误，几何体的分割有没有重复或遗漏.经反复验证，这些都没有问题，那么，问题在哪里呢？同学们陷入深深的思考中，开始质疑题目是否出错，大胆提出设想，接下来验证说明为什么是题目错了.最后我们发现：由于B，D，E，F四点不共面，错解2中连接BE，错解3中连接DF，它们所围成的几何体不同，体积自然不同.所以，这一题由于题目中未说清楚几何体的构成，无法计算其体积.

题2如图5所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,D，E分别是AB，BB1的中点，并且AC=BC=AA1=2.

(1)求解直线BC1和A1D所成角的大小；

(2)求解直线A1E和平面A1CD所成角的正弦值.

错题原因在解题中，学生出现解题错误主要是因为对向量所成角和异面直线所成角的关系理解有偏差，两个空间向量所成的角并不等于异面直线所成的角，出现解题错误是因为将它们等同.其实，它们从定义和范围上有着一定的不同.异面直线所成角的范围是(0，90°]，当求解出两条直线所成的角是钝角时，需要求解出补角，利用公式计算出角的余弦值是负值时，需要求解绝对值.

(1)证明A1C⊥BB1D1D；

(2)求解平面OCB1和平面BB1D1D所成角的大小.

错误探究在此题解答中，第一个线面垂直的问题，学生一般不会出现解题错误，主要是在面面之间的夹角求解出现错误，学生把平面和平面形成的角和二面角混淆了，平面是可以无限延伸的，因此，平面和平面形成的角可以看成是两个二面角，一般来说，求解出的答案应该是两个值，而且是相互互补.在二面角的求解中，其答案则是唯一确定的.

二、有趣的解题

题4 在几何体中，其三视图如图7所示，求解该几何体外接球的表面积.

解题探究此题是几何体外接球问题，在解题中，学生很容易忽视的是球的几何性质，主要考查学生空间想象能力、平面向空间转化能力以及学生数学计算能力.虽然此题是求解外接球表面积，但是，在球半径的求解中，需要进行逐步分析，对学生逻辑思维具有一定的要求.在求解和几何体外接球相关的题目时，学生需要将立体的球转化成平面圆，对题目进行分析，开展深层次的思考和探究，此类型题目具有一定的难度.

题5在平面α中，m，n是其面上两条不同的直线，在平面β内有两条相交的直线l，s，则平面α和平面β垂直的充分不必要条件是( ).

A.l⊥m，l⊥nB.m⊥l，m⊥s

C.m⊥l，n⊥sDm∥n，l⊥m

解析在题目中已知的条件是空间内的两个面以及面上的两条直线，通过线面关系进行线面垂直的证明，要求学生掌握面面垂直的基础方式，利用线面垂直判定定理以及二面角知识.此题属于选择题类型，在解题时，让学生根据选项，画出相应的图形，对每一项进行判断，通过这样的判断，最终可以得出选项B正确.

解题探究此题是线面关系的典型例题，属于小题类型，命题非常灵活，主要对线面空间位置关系进行考查.在实际的分析中，需要利用不同几何体或者线面关系做出分析.在实际的解题中，由于线面垂直、平行以及垂直等性质定理，学生很容易脱离几何载体，或者忽视几何常识，使得学生解题出现错误.面对这样的基础问题，需要立足空间几何观察，加强学生基础能力和基本方法培养.在具体教学中，结合数学核心知识点和考点，让学生准确把握概念知识，注重常规问题分析，避免学生出现错误.

尽管这一题目出错了，同学们通过观察几何体，深化了解了棱台的结构特征；尝试了分割几何体的方法，转化为锥体的体积计算；从观察到分析、计算、探究、质疑，以及大胆提出题目出错，到最后的论证，同学们愉快地掌握了相关知识和几何体分割思想方法，还培养了同学们敢于质疑，寻求真理的优秀品质.