关于恒成立问题的四种解题策略

齐 磊

(江苏省丰县中等专业学校 221700)

一、合理利用一次函数方法

若已知一个一次函数y=ax+b(a≠0)，并且y=f(x)在[m,n]内有f(x)>0恒成立，那么由函数的图象就可以很轻易得到上述结论与下式相等.

图1

例1 给出条件如下：假设一个实数p满足|p|≤2,求使不等式x2+px+1>p+2x恒成立的x的取值范围.

思考这个题目的不等式中有两个字母：x和p,把哪个字母看成是变量就是解决这道题的突破口，然后把另外一个当作是常数，如果将p当作是自变量，那么上述问题就变成了当p∈[-2,2]时，就可以得到p的一次函数值恒大于O.

解析由题意得，不等式x2+px+1>p+2x.

则(x-1)p+x2-2x+1>0.

二、合理运用二次函数法

也可以用韦达定理及根的分布的相关知识求解二次函数在某些指定区间上的恒成立问题.

例2 给出y=x2-2ax+2，存在f(x)≥a恒成立的条件是x∈[-1,+∞)，求a的取值范围.

思考设法将问题转化成x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立的问题，那么就可以把a移动到等式的左边，这样就简单很多.

解析假设F(x)=x2-2ax+2-a.

①如果Δ=4(a-1)(a+2)≤0，等价于-2≤a≤1时，对一切满足x∈[-1,+∞)，F(x)≥0条件的式子都恒成立；

②如果Δ=4(a-1)(a+2)>0时，与图象相结合就能得到下面这些充分必要条件：

解得-3≤a≤-2.

结合上述分析，得a的取值在[-3,1]之间.

三、合理运用分离变量法

如果等式或者不等式中存在两个变量，并且已知其中一个变量的范围，题目要求是求另一个变量的范围，而且可以通过恒等变形的方法将这两个变量分别放在等式或者不等式的两边，那么就可以把恒成立问题转变成函数的最大值或最小值来求解.

思考由题意可知，在不等式里有两个变量a和x，其中告知了x的范围(x∈R)，要求题中另外一个变量a的范围，因此可以采用把a从式子里分离出来的方法.

f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3.

特别提醒：观察到题目中有sinx和cosx,且cos2x=1-2sin2x，因此如果把sinx换元成为t，那么就可以把原来的不等式转化成为一个关于t的二次函数类型.

除此之外，还有另一种解法：

因此f(t)在[-1,1]范围内单调递减.

四、运用函数性质法

思考因为原不等式成立的条件是自然数n要大于1，因此等式左边的最小值应该大于等于右边，可以先求等式左边的最小值.

恒成立问题具有很高的研究探索价值，它不仅可以锻炼学生的思维能力，还可以帮助学生学会从多个方面思考问题，培养了学生细心谨慎的品质，帮助学生掌握基础知识和提高运算能力.对于数学的研究也有巨大帮助，为数学的探究发展提供了新思路和新方法.