二项式定理的深度学习

广东省广州市广州中学(510000) 林俊平

1 (a+b)n 的展开式是什么?

探究：如何利用两个计数原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展开式? 继而猜想一下(a+b)n的展开式是什么?

(1)根据乘法公式将(a+b)2,(a+b)3展开,并将各项系数用组合数表示,有下列结论：

②(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

(2)类比上述方法,将(a+b)4展开,你能得到什么?

(a+b)4= (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4,展开式各项的系数：上面4 个括号中, 每个都不取b的情况有1 种, 即C04种,a4的系数是C04; 恰有1 个取b的情况有C14种,a3b的系数是C14, 恰有2 个取b的情况有C24种,a2b2的系数是C24, 恰有3 个取b的情况有C34种,ab3的系数是C34,有4 都取b的情况有C44种,b4的系数是C44,∴(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a3b+C44b4.

(3)将(a+b)n展开呢?

2 归纳总结,二项式定理

(a+b)n=C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr+···+Cnnbn(n ∈N∗),该定理有什么特征?

接着伯虎像是顺着小赵的话乘胜追击一般，迟疑片刻再开口。但他先叹息一声，接着说：“安文浩，这就是我刚刚本来想告诉你的第二件事。经过昨天这事之后，五大巨头现在已经彻底对我们南极集团忍耐不下去了……就在昨天，五大巨头在夜间紧急宣布联盟，表面上是为了抵抗这个攻击，但实际上，五大巨头几乎联合了所有的物联网行业的公司，却唯独就是没有联合我们……”

(1)(a+b)n的展开式的各项都是n次式,即展开式应有下面形式的各项：an,anb,··· ,an-rbr,··· ,bn,

(2)展开式各项的系数：

上边有n个括号,则每个括号都不取b的情况有1 种,即C0n种,an的系数是C0n;

恰有1 个取b的情况有C1n种,anb的系数是C1n,……;

恰有r个取b的情况有Crn种,an-rbr的系数是Crn,……;

有n个都取b的情况有Cnn种,bn的系数是Cnn;

∴(a+b)n=C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr+···+Cnnbn(n ∈N∗),这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.

(3)它有n+1 项,各项的系数Crn(r=0,1,··· ,n)叫二项