对一道教材习题的研究性学习

广东省广州市铁一中学(511447) 刘 国

1 问题呈现

设x,y为正数, 且x+y= 1, 用反证法证明

详见《普通高中课程标准试验教科书.4-5(选修)》(人教A 版)第29 页习题2-3 第4 题.此题是一道典型条件不等式证明题,课本要求用反证法证明.如果将此题改为：

设x,y为正数,且x+y=1,证明

再要求同学们证明此题,同学们会用反证法吗? 同学们会用什么方法证明呢? 解题的价值并不在于答案本身,而在于弄清“是怎样想到这种解法或证法的”,“是什么促使你这样想,这样做的”,“怎样做更有效”? 事实上,一次解题或证题,就像是一次旅行.在这个旅行中,如果我们能用“心灵”去感知、感受,如果我们能放飞解题的“心灵”,那么,无论是什么数学问题,也无论你的思路是否顺畅,一路走来,处处背景是风景.此题如果只用反证法来证明,那么这次解题之旅时失败的,照本宣科使用教材的教学时低效的.

2 证法探究

2.1 用反证法证明

得(2x-1)2＜0,这是不可能的.所以9.

以上证法是教师教学用书给出的证法.

2.2 用比较法证明

证法2：由x+y=1,所以

用比较法证明不等式是最简单、最基本、最常见的方法,是证明不等式的首先方法.

2.3 用综合法证明

证法3：由x+y= 1 得1- x=y, 1- y=x, 因为同理所以

又 1 =x+y≥所 以≥ 4, 所 以当且仅当x=y=时取等号,则

证法4：由x+y= 1 得-1 =同理

所以

当且仅当x=y=时取等号,则

证法5：由证法3 变形得

当且仅当x=y=时取等号,则

证法6：因为x2和y2都是正数,所以要证成立,只需证明(1-x2)(1-y2)≥9x2y2成立,展开得1-x2-y2+x2y2≥9x2y2,只需证明8x2y2+x2+y2-1 ≤0,又x ＞0,y ＞0,x+y=1,故只需证明8x2y2+x2+y2-(x+y)2≤0,即8x2y2-2xy≤0,因为x ＞0,y ＞0,x+y=1,故1=x+y≥故xy≤由xy≤成立,得成立.

2.5 用三角代换证明

证法7：设x=cos2θ,y=sin2θ,θ /=k ∈Z,则

当且仅当x=y=时取等号……