浅析多普勒效应的不对称性

余志卫

[摘   要]多普勒效应在日常生活、生产中比较常见，但在高考物理中属于非重点考查内容，所以在日常教学中，通常是点到为止，过后师生都不会花太多的时间在这部分内容上。鉴于此，文章较全面地分析了多普勒效应，以便学生较全面地理解与掌握多普勒效应。

[关键词]多普勒效应;伽利略;时空坐标变换

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]     A        [文章編号]    1674-6058（2021）20-0045-03

当一辆汽车从我们身旁急驰而过的时候，我们会感到车上喇叭的音调从尖锐变为低沉。站在铁路旁听列车的汽笛声也能感到：列车迅速迎面而来时音调较高，而列车离去时则音调又变得比较低。实验表明，声源不动而观察者相对传播介质运动时，也会发生接收到的声波频率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应，是奥地利物理学家多普勒于1842年首先发现的。

在中学阶段，课本上给出了多普勒效应的定性结果，学生只能从中定性了解多普勒效应，而不能从本质上定量地深层次地理解。有些学生、甚至部分教师错误地根据运动的相对性，认为观察者远离波源运动的多普勒效应与波源远离观察者的多普勒效应是等价的、完全一样的。这就是对多普勒效应的理解不够全面、深入的结果。本文从中学生能够理解的角度出发，对多普勒效应做定量全面的分析，以消除师生在教学过程中认识上的一些误区。

一、从中学生能够接受的知识层面证明

为方便起见，我们假定相对运动发生在波源与观察者连线上，并设波源相对介质运动的速度为[v源]，以向观察者运动为正，反之为负（即靠近为正，远离为负），观察者相对介质运动速度为[v人]，以向波源运动为正，反之为负。用[f0]表示波源振动的频率，以[λ0]表示波长，以[v0]表示波在介质中传播的速度，观察者接收到的实际频率为f 。

1.波源和观察者均相对介质静止

如图1所示，在观察者看来，因波传播的速度由介质决定，他观察到波的速度为[v源]，波长仍为[λ0]，则[f=v源λ0=v源v源T=f0]，即观察者接收到的频率就是波源的频率。

2.波源静止，观察者运动

观察者相对介质运动，如图2所示，此时[v源]=0，[v人≠0]。设观察者向波源运动时[v人>0]，在单位时间内，原位于观察者处的波向右传播了距离[v0]，同时，观察者自己向波源移近了距离[v人]。对观察者而言，波在单位时间内通过了[v0+v人]的总距离。这相当于他观察到波以[v0+v人]的速度在传播。则有：

[f=v0+v人λ0=v0+v人v0T=1+v人v0f0]

在这种情况下，观察者接收到的频率增大;若观察者远离波源运动，上式仍成立，此时[v人]为负，[f=1-v人v0f0]（条件是人远离的速度小于波速[v0]），即他接收到的频率变小;若观察者远离波源运动的速度大于波速[v0]，则他比波运动得快，他将接收不到声波。

3.观察者静止，波源相对介质运动

如图3所示，此时[v人=0]，[v源≠0]。由于波在介质中传播的速度由介质决定，与波源运动无关。若波源以速度[v源]向着观察者运动，则它发出的球面波不再同心。当波源静止时，相邻两振动状态相同的两点之间的距离为[λ0]。波源运动时，当第一个波自波源发出后，该波以速度[v0]向前传播，设一个周期后，第二个波发出，波源已向前移动了[v源T]的距离，而此时第一个波向前传播了[λ]0的距离到达s点，结果在观察者看来，相邻两振动状态相同的两点间距离变为[λ0-v源T]，此即为观察者观察到的波长[λ]。如图4，若[t]时刻波源位于O点，当下一个振动自波源发出时，波源已向前移动了[v源T]到达[O′]点，对观察者而言，他感到介质中波长比原来缩短了[v源T]，此时他观察到的波长为[λ=O′S=OS-OO′=λ0-v源T]。于是观察者接收到的频率为：

[f=v0λ=v0λ0-v源T=v0v0T-v源T=v0v0-v源f0]

即观察者接收到的频率增大。若波源远离观察者运动，上式中的[v源]为负值，观察者接收到的频率为[f=v0v0+v源f0]，比波源频率小。

4.波源和观察者同时相对介质运动

此时[v源]和[v人]都不为零（设都大于零）。现以波源与观察者相向运动为例，根据前面的讨论，影响观察结果的因素有两个：一是波源相对介质运动，使观察到的波长变短（[λ=λ0-v源T]）;另一个是观察者的运动，使观察到的波速变为[v=v0+v人] ，所以当波源和观察者同时相向运动时，观察者接收到的波频率为：

[f=vλ=v0+v人λ0-v源T=v0+v人v0-v源f0>f0] 。

在上面的讨论中，波源与观察者之间的相对运动都是发生在沿着两者的连线上的。现在考虑波的传播方向、波源速度与观察者速度三者不共线的一般情况。如图5所示，设t时刻波源位于S点，以速度[v源]向[S]运动，观察者位于R点以速度[v人]向[R]运动。在t时刻，观察者接收到波的传播速度（沿波源与观察者连线方向）是[v=v0+v人cos β]，观察者测得的波长是[λ=λ0-v源Tcos α]，故t时刻观察到的频率为：

[f=v0+v人cos βλ0-v源Tcos α=v0+v人cos βv0-v源cos αf0]

这就是多普勒效应的普遍公式。由此可知，机械波的多普勒效应只有在沿波源与观察者的连线上才会发生。

二、用伽利略时空坐标变换证明

如图6所示，O为静止坐标系，[O]为相对O系做匀速平动的运动坐标系。由图可见

[r=r'+r0]，

图6

按照经典力学的相对性原理，有：

[r'= r-v0t]，[t'=t]

[t']表示运动坐标系中的时间，[t]为静止坐标系中的時间，上式称为伽利略时空坐标变换。

1.波源静止，观察者相对介质运动

如图7所示，静止坐标系O建在波源处，在运动的观察者处建立运动坐标系[O′]，若观察者远离波源运动的速度为[v（v

[y'=y]，[x'=x-v人t]

在O系中沿x轴正向传播的波方程为 [y=Acosωt-ωxv0]，把上式的x代入得：

[y=Acos1-v人v0ωt-ωxv0]

又 [y=Acosωt-ωxv0]

比较可得，[ω=1-v人v0ω] ，其中[ω]为[y']系中的角速度，也即观察者观察到的角速度，所以有：

[f=1-v人v0f0]

也就是观察者远离波源运动时接收到的频率变小;若观察者远离波源运动的速度大于波速[v0]，则他比波运动得快，他将接收不到声波。

若观察者向波源运动，只要把[-v人]代入上式即可，因而有：

[f=1+v人v0f0]

这说明他接收到的频率增大;

2.观察者静止，波源相对介质运动

如图8所示，以静止的观察者作为静止坐标系的O点，运动坐标系[O′]建在以[v源]速度远离观察者的波源上，同样，由伽利略时空坐标变换有：

[y=y']， [x=x'+v源t]

O系中沿x轴负方向传播的波方程为：

[y=Acosωt+ωxv0]，

其中[ω]为O系中观察者观察到的角速度，把伽利略时空坐标变换代入上式：

[y=Acos1+v源v0ωt+ωxv0]

[y']系中的波方程为：[y=Acosωt+ωxv0]，

比较上两式，得[ω=1+V源v0ω]，其中[ω]为运动坐标系中波振动的角速度，也即波源的角速度[ω0] ，故有[f0=1+v源v0f]，所以观察者观察到的频率为：

[f=v0v0+v源f0]

这就是说此时观察者观察到的频率变小。若波源向观察者运动则上式中以[-v源]代替[v源]，则有：

[f=v0v0-v源f0]

即波源向观察者运动时，观察者接收到的频率增大。

另外，由上面的结果可以看出，波源相对介质运动与观察者相对介质运动的多普勒效应是不同的或者说是不对称的，这也往往是我们在教学中容易误解的地方。这是由于多普勒效应并非决定于波源与观察者之间的相对速度，而是取决于波源或观察者相对介质的速度，而机械波是相对介质传播的缘故。事实上，波一旦从波源发出，就以恒定的速度v0在介质中传播，波源相对介质运动不会带动这些波一同运动。波源相对介质运动的结果必然导致波在介质中的分布发生变化（波长改变）。由于波是通过介质传播的，因而是分布在介质里的，观察者相对介质运动，他观察到的波长不会改变，但他感到波传播的速度发生了变化。可见：机械波的多普勒效应只跟波源和观察者相对于介质的运动有关。

[   参   考   文   献   ]

[1]  梁昆淼，俞超，年树业.力学讨论[M].成都：四川教育出版社，1987.

[2]  潘武明.力学：计算机辅助教程[M].北京：科学出版社，2004.

[3]  杨维纮.力学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014.

（责任编辑 易志毅）