乘方的指数与其幂的位数的关系

刘耕滔， 谢子康

(1.浙江师范大学 数学与计算机科学学院，浙江 金华321004；2.浙江师范大学 物理与电子信息工程学院，浙江 金华321004)

1 引 言

众所周知，bn(b>1，n∈)中随着n的增大，其幂呈爆炸式增长.但经过研究发现，对应于某些底数b，随着n的增大其幂的数位呈某种周期循环规律(如附录中的例子)，目前尚无理论明确指出其间到底存在怎样的规律.于是我们由此展开研究，探究了其背后的理论体系，并将其推广到了更一般的情况.

2 预备知识

定义1位数：一个自然数数位的个数. 进制：即进位计数制，带进位的计数方法.

定义2定义一种函数：取位函数(长度函数)

f(x)=lenA(x) (A为大于1的常数，x∈+).

该函数表示在A进制下x的整数部分的位数为f(x).

根据定义，当x∈[1,+∞)存在取位函数恒等式： lenA(x)= [logAx]+1.

定义3在A进制下，若以b为底的幂bn的整数部分位数相同的乘方的个数是其指数的一个周期函数时，则称A进制下bn的进位定律存在.在该周期函数的最小正周期内统计每一个位数所对应的指数的个数，将其数字按先后顺序记下，便构成了一个进位循环组.进位循环组中每一个数字(自然数)为进位循环段.表示进位循环组时，数字以西文逗号隔开，写在括号内.(如附录中的例子)(A,b∈且A,b>1，n∈).

进位循环组表示进位定律存在的乘方的幂的整数部分的周期性的进位模式.

例1(100.3)n(n∈) 随n增大时存在进位定律，进位循环组为 (4,3,3).

3 两个定理

定理1(满进定理) 设A,a>1，n∈，当且仅当A=a时，lenA(an)=n+1.

该定理结合数学归纳法易证.称A进制下an=An这种进位的模式为“满进”.由定理指出，一种进制下只存在一种满进情况.同样结合数学归纳法，可以由定理1推得以下五个等价命题：A,a∈且A,a>1，n∈.在A进制下，