Hilbert空间中的广义K-框架

陶 蕊， 李春艳

(重庆科技学院 数理与大数据学院， 重庆401331)

1 引言与预备知识

1946年，Gabor在文献[1]中讨论了信号关于基本信号的分解问题.1952年，Duffin等人[2]对Gabor的思想进行了推广，在非调和Fourier分析中引入了框架的概念.但是，他们的工作并没有引起太多学者们的重视. 直到1986年，Daubechies等[3]将框架理论应用到小波分析和Gabor变换中，才引发了大量学者关于框架理论的深入研究.随后，框架理论被广泛地应用于信号处理、图像处理、数据压缩以及抽样理论等领域.

最近20年来，在Hilbert空间中，各种不同的框架概念被相继提出，例如，一般框架，子空间框架，广义框架和K-框架等等.关于这些框架的主要研究工作，可以参见文献[4-9].在上述的框架概念中，Sun等[6]提出的广义框架和Gavruta[7]提出的K-框架将算子理论与框架理论进行了结合，极大地延伸了框架理论的研究范围.本文将在Hilbert空间中引入广义K-框架及其对偶框架的概念.广义K-框架是广义框架和K-框架的一种自然推广.利用广义K-框架及其对偶框架可以实现对算子K的值域的重构.

本文将采用如下记号：F表示复数域或实数域，H表示定义在数域F上的可分Hilbert空间，L(H1,H2)表示从Hilbert空间H1到Hilbert空间H2上全体有界线性算子的集合.特别地，当H=H1=H2时，记为L(H). 对H中的任意两个元素f,g，利用〈f,g〉表示f与g的内积.

且其内积为

显然，⊕Hi在此内积下仍然是一个Hilbert空间.特别地，对任意的i，当Hi=H时，记l2(H)=⊕Hi.

下面，先回顾广义框架和K-框架的概念.

由广义Bessel序列的定义可知RΛ是一个有界线性算子.此时，称RΛ为Λ的解析算子.此外，通过……