运用GeoGebra软件分析中学物理动态问题
——以磁场中三类动态问题为例

关健波 李志坚

(1. 云南省昆明市第十四中学，云南 昆明 650106；2. 云南省昆明市教育科学研究院，云南 昆明 650106)

带电粒子在磁场中的运动是高中物理教学的重难点，也是高考的必考内容，在高考中常以选择题和压轴题的形式进行考查。这类问题的难点在于综合考查知识且与平面几何结合紧密，特别是涉及带电粒子在磁场中轨迹的动态问题，学生仅通过想象，很难找到几何关系中的临界点，无法建立正确的物理模型，导致考试中失分率较高。[1]

在传统教学中，教师往往通过固定圆进行演示，虽有一定的效果，但学生在考场中很难找到特定的固定圆，而且固定圆也不能很好地呈现几何关系和临界问题。GeoGebra软件具有开源、免费和跨平台等诸多优点，在中小学教学中得到越来越广泛的应用。[2]运用GeoGebra软件可以较好地模拟带电粒子在磁场中的运动，帮助学生找到几何关系和临界点，从而突破难点。笔者针对带电粒子在磁场中运动的动态问题，以案例的形式说明GeoGebra课件的制作原理、方法和使用。

1 粒子速度相同、入射位置不同——“平移圆”模型

大量同种粒子在垂直于磁场方向的同一平面内，从同一直线上的不同位置以相同的速度进入匀强磁场内，各粒子运动轨迹的半径相同，只需要选取一特殊位置的运动轨迹，沿特定的直线平移该轨迹就可以得到其它粒子的运动轨迹，找到几何关系和临界点。

例1：如图1所示,相距为2R的两水平极板间有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B，方向如图1所示。极板的右侧有范围足够大、磁感应强度也为B的匀强磁场，在边界PQ上距下极板距离为R的M点放置足够长的荧光屏MN，荧光屏与PQ夹角θ=60°。从一线状发射装置水平射出一束带正电、比荷相同的粒子，所有粒子均能沿平行极板通过两板间，其中沿极板正中央入射的粒子，恰能垂直打在荧光屏上，不计粒子重力及其相互作用。求：粒子在荧光屏上落点的范围。

图1

1.1 课件原理

大量比荷相同的粒子以相同的速度从速度选择器中垂直于PQ的方向进入PQ右边的磁场，做半径为2R的匀速圆周运动。经分析，该圆心在虚线PQ上、速度选择器下方2R的直线范围内。通过GeoGebra软件可以画出此段直线(圆心所在直线)，并使该轨迹在此线段上移动，显示出该轨迹与MN的交点。

1.2 课件制作

(1) 选择“线段”工具，作出平行于x轴的线段AB代表上极板、线段CD代表下极板。其中，两极板相距为4。

(2) 选择“直线”工具，作出过B、D两点的直线，并点击右键在“属性”中设置为虚线。

(3) 选择“点”工具，在直线BD上D的下方1处选取M点，下方6处选取F点。

(4) 选择“旋转”工具，把点F绕M点逆时针旋转60度，选择“射线”工具，连接M、N得到射线MN。

(5) 选择“角”工具，把∠FMN的角度标出。

(6) 选择“点”工具，在直线BD上D点下方2处取一个点E，再选择“线段”工具，连接D、E两点。

(7) 选择“对象上的点”工具，在DE上选取点O，在输入栏输入circle(O，4)，作以O点为圆心、半径为4的圆O。

(8) 选择“交点”工具，作圆O与荧光屏的交点G。

(9) 点击O点“启动动画”，即可看到圆O与荧光屏的交点经过的区域，隐藏不需要的对象。

1.3 课件说明

该题涉及粒子在磁场中运动的边界问题，核心依然是找圆心、定半径。粒子沿边界BD射出，形成半径为2R的圆弧。选择“启动动画”就可以看到轨迹圆与屏幕MN形成的交点痕迹(图2)。

图2

图3

拖动O点可以发现，当粒子从B点射出时，粒子在荧光屏上打到离M最近的点(图3)；轨迹的圆心与G点在同一水平线上时，粒子在荧光屏上打到离M最远的点(图4)；而最容易出错的地方是：有学生认为粒子从D点射出时，在荧光屏上打到离M最远的点，其实不然(图5)。通过动画把粒子的运动轨迹分析清楚后，再结合数学关系，很容易得到正确答案。

图4

图5

2 粒子入射位置相同，速度大小相同、方向不同———“旋转圆”模型

大量同种粒子在垂直于磁场方向的同一平面内，从同一位置以不同方向、相同大小的速度进入匀强磁场内，各粒子的轨迹半径相同，只需要选取一特殊位置的运动轨迹，沿特定的圆弧旋转轨迹就可以得到其他粒子的运动轨迹，这样就能够找到几何关系和临界条件，得到粒子运动过程所满足的规律。

图6

图7

2.1 课件原理

2.2 课件制作

(1) 选择“线段”工具，作出水平线段MN，并选择“点”工具在线段MN上选取一点O。

(2) 在输入栏输入B(6，2)作出B点，输入C(6，-2)作出C点。

(3) 选择“圆弧”工具，作出半径为2的圆弧BC。

(4) 选择“对象上的点”工具，在圆弧BC上取一点D，在输入栏输入circle(O，4)，并选择“交点”工具，作出线段MN与圆弧BC的交点E。

(5) 选择“圆弧”工具，作出圆弧OE。

(6) 点击D点设置“启动动画”，即可看到轨迹圆所经过的区域，隐藏不需要的对象(图8)，点击“追踪”即可得到答案。

图8

2.3 课件说明

该问题是带电粒子在磁场中运动的临界问题，对学生的想象能力和思维能力都有较高要求。其重点是找到旋转圆在转动过程中的几个特殊位置，拖动D点，选取几个位置，如图9中的初始位置、图10中的特殊位置、图11中的一般位置。设置D点的“启动动画”，通过轨迹圆的运动情况，可以帮助学生选出正确答案，再通过对轨迹圆进行“追踪”，可以得到答案(图12)，大大降低了解题难度。

图9

图10

图11

图12

3 粒子入射位置相同，速度大小不同、方向相同——“缩放圆”模型

大量同种带电粒子在垂直于磁场方向的同一平面内，从同一位置以相同的方向、不同的速度大小进入匀强磁场，各粒子的轨迹半径不同，只需要选取一特殊位置的运动轨迹，沿特定的直线缩放半径，就可以得到其他粒子的运动轨迹，从而找到几何关系和临界点。

图13

例3：如图13所示，在半径为R的圆筒内有大小为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的正离子在小孔S处，以一定的速度向着圆心射入，设相碰时电荷量和动能均无损失，则此粒子速度为多大时才能在最短的时间内从原孔射出？

3.1 课件原理

3.2 课件制作

(1) 选择“直线”工具，作出水平直线AB，在输入栏输入(4，4)，点击Enter键后，输入circlet(O,4)，点击Enter键，画出圆O。

(2) 选择“交点”工具，作出圆O与直线AB的交点C，选择“对象上的点”在直线AB上选取D点，在输入栏输入circle(D,CD),作出圆D。选取“交点”标出圆O与圆E的交点F点。选择“线段”工具连接CD、OD、ED。

(3) 选择“圆弧”工具，作出圆弧CE。

(4) 连续两次选择“轴对称”工具，作出圆弧EF和圆弧FN。移动O点可以看到：经过2次可以射出S点。

(5) 选择“线段”工具，连接ON，作出圆弧NG，即可演示经过3次撞击射出S点的情况。

(6) 重复步骤(5)，可以演示更多情况。

3.3 课件说明

拖动D点，使带电粒子刚好能射出C点，图14、图15分别呈现了粒子射出C点前与圆筒相撞2次、3次的情形。通过动画把粒子的运动轨迹分析清楚，很容易得到正确答案。

图14

图15

图16

图17

4 结语

上述带电粒子在匀强磁场中的三类问题对学生的想象力和思维能力有较高的要求，学习难度较大。GeoGebra软件简单易学，功能强大，给教师和学生带来极大的便利。[3]运用GeoGebra软件中的动画功能和追踪功能可以帮助学生进行情景体验，达到理想的教学效果。