对物理图像题易错点的探讨

郑 金

(辽宁省凌源市职教中心，辽宁 朝阳 122500)

对于某些以物理图像为背景的问题，或者利用图像法进行解题时，有时会出现一些错题或错解，包括给出的图像、利用图像解题时出现的错误等。笔者通过对物理图像的分析与研究，助力于读者对图像及图像问题的正确理解。

1 忽视图像端点处的斜率导致错误

对于质点的运动图像，其端点反映运动的起点和终点情况。一般来说，如两个质点同时运动，利用速度图像的端点对应的时刻、速度和加速度的关系，可以比较各量的大小，但有时需用切线斜率的绝对值表示加速度的大小，用速率图像下的“面积”表示路程。

例1：甲、乙两物体从地面同时竖直向上抛出，甲只受重力，乙除了受重力，还受到大小跟速率成正比的空气阻力作用；它们同时到达同一最大高度，则在此过程中，两物体的速度大小关系是( )。

A. 甲始终比乙大

B. 乙始终比甲大

C. 开始甲较大，后来乙较大

D. 开始乙较大，后来甲较大

图1

原解：用v-t图像来比较速度变化情况。已知“两物体从地面同时竖直上抛”和“同时到达同一最大高度”，则它们的运动时间相同、位移相同，故两者的v-t图像末端交于t轴的同一点；两者的v-t图像与时间轴围成图形的“面积”相同。甲物体竖直上抛，做匀减速直线运动，则其v-t图像为向下倾斜的直线；乙物体上抛，除受重力外，还受到向下的阻力f=kv，做减速运动，但阻力逐渐减小，则合力逐渐减小，加速度逐渐减小，其v-t图像切线的倾斜程度逐渐减小，可知v-t图像随时间的增大而逐渐向上弯曲，是向下凹的一段曲线。由于两个v-t图像下的“面积”相等，而且终点相同，则两者的v-t图像的起点(即初速度)不可能相同，甲的初速度必小于乙的初速度，在到达最高点之前曲线与直线相交，画出两者的v-t图像如图1所示。由图1可知，两个物体瞬时速度的大小关系是开始乙较大，然后甲较大，选项D正确。

探讨：当乙物体上升到最高点时，速度为零，所受空气的阻力为零，因此此时的加速度等于重力加速度，甲、乙两物体到达最高点时的加速度相同，在v-t图像中，曲线与横轴交点处切线斜率的绝对值表示加速度，如图2所示，在横轴交点处曲线的切线应该平行于倾斜的直线。由此可见，两者的v-t图像与横轴的交点不可能相同，两个物体不可能同时到达最高点，受到空气阻力的乙先到达最高点，那么图1中的v-t图像是错误的。由图2可知，两个物体瞬时速度的大小关系是开始乙较大，然后甲较大，选项D正确。

图2

修改：对于这道题，虽然由图1和图2得到了相同的答案，但原题和原解都存在错误。对原题有两种修改方案，其一是把“乙除了受重力，还受到跟速率成正比的空气阻力”改为“乙做加速度逐渐减小的减速运动”，则速度图像如图1。其二是把“它们同时到达同一最大高度”改为“它们能够到达同一最大高度”，则v-t图像如图2，2014年重庆高考物理卷第5题考查的即是此图。

2 忽视图像的弯曲方向导致错误

若图像切线的斜率保持不变，则图像为直线；若图像切线的斜率发生变化，则图像为曲线。若斜率逐渐增大，则图像随自变量的增大逐渐向上弯曲；若斜率逐渐减小，则图像随自变量的增大而逐渐向下弯曲。对于图像的曲直以及凹凸，可根据切线的斜率是否变化以及如何变化来判断。

图3

例2：如图3所示，一根上细下粗、粗端与细端都均匀的玻璃管竖直放置，上端开口，下端封闭，上端足够长，下端(粗端)中间有一段水银柱封闭了一定质量的理想气体，现对气体缓慢加热，气体温度不断升高，水银柱上升，则封闭气体的体积与热力学温度的关系最接近图4中的( )。

图4

原解：当水银柱在粗管中上升时，封闭的理想气体发生等压变化；当水银柱有一部分在细管中上升时，封闭气体的压强逐渐增大；当水银柱全部上升到细管时，再次发生等压变化，但先后两次等压变化的压强不同，第一次压强较小，第二次压强较大。由于等压变化的V-T图像是过坐标原点的倾斜直线，压强越大，斜率越小，因此后来直线的斜率应较小，选项B、C错误。由于水银柱在刚进入细管和刚离开粗管时压强发生突变，因此V-T图像会发生两次转折，选项D正确。

图5

图6

图7

3 误解图像的“面积”的物理意义导致错误

3.1 图线与不同坐标轴围成“面积”的物理意义不同

对于图像的“面积”，要注意是图线与哪个坐标轴围成的“面积”，或者是封闭曲线内部的“面积”还是两个图线之间的“面积”。虽然有时根据不同的“面积”可得到相同结果，但选择的“面积”要有确切的物理意义。

例3：气缸内封有一定质量的理想气体，初态体积为V1，压强为p1，当剧烈受热时，其体积膨胀为V2。设膨胀过程中气体体积的平方与热力学温度成正比变化，求在上述过程中气体对外界做了多少功？

图8

3.2 “速率-时间”与“速度-时间”图像不同

对于直线运动，速度-时间图线与时间轴围成的“面积”表示位移，如果“面积”中有负值，那么总位移在数值上等于各部分“面积”的代数和。对于曲线运动，速率-时间图线与时间轴围成的“面积”表示路程。

例4：如图9所示，物体(可以看成质点)第一次由静止开始沿着光滑斜面从顶端A点下滑到斜面底端B点，所用时间为t1；第二次由静止开始沿着光滑球面从顶端A点下滑到球面底端B点，所用时间为t2，若球面下端与水平面相切，则两次运动时间的大小关系为( )。

图9

A.t1>t2

B.t1=t2

C.t1

D. 不确定

原解：利用速度-时间图像进行分析，物体沿着斜面AB下滑的运动是匀加速直线运动，v-t图像是倾斜直线；沿着曲面ACB下滑的运动是加速度不断变化的加速运动，加速度开始时较大，然后逐渐减小，v-t图像为上凸曲线。由于二者运动的末速度大小相等，因此图像的上端在同一条水平线上；由于二者发生的位移相同，v-t图线与横轴围成图形的“面积”相等，可画出v-t图像如图10所示，则有t1>t2，选项A正确。

图10

图11

探讨：对于曲线运动，画出的v-t图像应该是“速率-时间”图像，而不是“速度-时间”图像，那么图像下的“面积”表示路程而不是位移的大小，故上述解法是错误的。若图9中的曲面长度与斜面长度相等，即路程相等(图11)，那么路程-时间图像如图10所示，则有t1>t2，选项A正确。

另解：曲线运动的速率-时间图线与横轴围成的“面积”表示路程，由于图9中沿曲线运动的路程大于沿直线运动的路程，因此速率-时间图像有三种情形，画出v-t图像如图12所示。故选项D正确。

图12

探讨：由于题中确定了曲面轨道是球面，那么速度-时间图像只能出现一种情况，因此图12是错误的。该题无法用图像法解答，只能进行定量推导来解答。

修改：综上所述，该题在高中物理知识范围内是无法解答的。可有多种修改方案，其一，若在原题中补充一个条件“斜面的倾斜角小于5°”，则选项A正确；其二，若把原题图9改为图11，并且补充一个条件“曲面长度与斜面长度相等”，则选项A正确，但在画图时要注意图像端点处的斜率为零，即在图10中曲线的上端与水平线相切，因为曲面下端与水平面相切，则质点在末态时的加速度为零。

对于原题，若把“球面”改为“曲面”，不明确曲面轨道的具体形状，那么速率图像是否为图12呢？这是一个值得探讨的问题，因为需要论证是否存在一种曲面，使质点沿该曲面下滑的时间等于沿其两端确定的斜面下滑的时间，或者大于沿其两端确定的斜面下滑的时间，如果不存在，那么图12就是错误的。

4 结语

在教学过程中，既要谨防错题和错解的出现，又要善于发现错题和错解，充分利用“错误”资源，变废为宝，可起到精准把脉、对症下药的功能。这种特殊的教学方式，可激发学生求知的兴趣和动力，促进思考、活跃思维，有助于提高教学效率和效果，更好地提升学生的核心素养。